[171108 현대대수학(환)] 4장 1절 '주 아이디얼 정역' 요약 정리 & 연습문제

[171108 Abstract Algebra(Rings)] Stage 4 - Chapter 1 'Principal Ideal Domains' Summary & Exercises

(*)이 부분을 공부하다가 문득 '주 아이디얼 정역이라는 말도 있었던 것 같은데,' 하고 대한수학회에서 단어 검색을 해보니, Principal Ideal Domain이라는 단어가 주 아이디얼 정역으로 번역되어 있었다.
아마 국가고시인 임용고시에 이 내용이 나온다면 주 아이디얼 정역으로 표현되어 있지 않을까 하고 생각 중.
그런 의미에서 포스팅에서는 주 아이디얼 정역으로 표기했다.

그리고 한 가지 더, 눈치챈 사람이 있을진 모르겠지만, 3장 14절은 뛰어넘었다. 연습문제도 눈으로 스캔 가능한 데다, 기본적으로 '다원환'이라는 것의 정의와 몇몇 예만 제외하면 선형대수학에서의 '벡터공간' 내용과 별반 다를게 없다고 판단했기 때문. 이후에 올릴 기회가 된다면 올리는 것으로.

(*) is such a behind story about two translations of 'Principal Ideal Domain' in Korean.

I skipped Stage 3-14 'Vector Spaces and Algebras over a Field' because it has similar contents with 'Vector Spaces' in Linear Algebra, except the Definition and Examples of Algebra over a Field. And Exercises were well-readable.
If I have another time, I'll upload them later.

< 4장 1절 '주 아이디얼 정역' 요약 정리 (1) >
Stage 4-1 'Pincipal Ideal Domains' Summary (a)

포함된 내용들 :

정의 - 단위원을 가진 가환환에서의 약수 / 배수 / 동반원
참고 - 단위원을 가진 가환환 $R$에서 $( a )$는 $a$의 배수들의 집합과 같다.
*정리 - 정역에서 두 원소 $a$, $b$와 두 아이디얼 $(a)$, $(b)$에 대한 성질들
정의 - 정역에서의 최대공약수 / 최소공배수
***정리 - 주 아이디얼 정역의 원소 $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n$에 의해 만들어지는 대표적인 두 아이디얼의 생성원
+ 예시 4.1.1) 주 아이디얼 정역인 ℤ에서의 동반원 / 예시 4.1.2) ℤ의 단원군과 동반원에 의해 생성된 아이디얼

Contents :

Definition - Divisor / Multiple / Associates in a Commutative Unital Ring
Remark - For a Commutative Unital Ring $R$ and $a \in R$, $(a) = $ { $ra$ $|$ $r \in R$ } $=$ { $x \in R$ $|$ $a$|$x$ }
*Theorem - Properties for $a$, $b$ and $(a)$, $(b)$ in an Integral Domain
Definition - the Greatest Common Divisor(G.C.D) and the Least Common Multiple(L.C.M) in an Integral Domain
***Theorem - Generators of $( a_1, a_2, \cdots , a_n )$ and $( a_1 ) \cap ( a_2 ) \cap \cdots \cap ( a_n )$ in a Pincipal Ideal Domain(P.I.D)
+ Example 4.1.1) Associates in ℤ, which is a PID / Example 4.1.2) Unit Group of ℤ and Principal Ideals generated by Associates in ℤ

< 4장 1절 '주 아이디얼 정역' 요약 정리 (2) >
Stage 4-1 'Pincipal Ideal Domains' Summary (b)

포함된 내용들 :

참고 - 일반적으로 최대공약수와 최소공배수는 유일하지 않음.(+ 그 관계)
정의 - 정역에서의 서로소
예시 4.1.3) ℤ의 최대공약수/최소공배수는 양의 정수 중에서 유일하게 결정됨.
***정리 - 주 아이디얼 정역의 두 원소가 서로소일 필요충분조건
정리 - 주 아이디얼 정역에서 서로소인 원소에 대한 성질들
**정리 - 주 아이디얼 정역의 두 원소 $a$, $b$와 $d = $gcd{$a$, $b$}, $l = $lcm{$a$, $b$}가 갖는 관계

마지막 **정리는 '주 아이디얼 정역'이라는 조건 아래서는 두 원소와 그 최대공약수, 최소공배수 사이에서 성립하는 여러 성질들이 정수에서와 같이 만족함을 보여준다. 또한 연습문제 3.13.9(링크는 아래에)에서 보았듯, '주 아이디얼 정역'이라는 조건 아래에서 아이디얼이 소 아이디얼이 될 조건과 극대 아이디얼이 될 조건이 서로 동치이다. 주 아이디얼 정역이 이렇듯 중요한 정역의 한 예임을 상식으로 가지고 가야 할 듯.

Contents :

Remark - Generally the G.C.D and L.C.M are not unique.(+ their relation)
Definition - Relatively Prime elements in an Integral Domain
Example 4.1.3) There are unique G.C.D and L.C.M for elements in ℤ
***Theorem - NS-condition to be Relatively Prime in a P.I.D
Theorem - Properties for Relatively Prime elements in a P.I.D
**Theorem - Relations between $a$, $b$ and $d = $gcd{ $a$, $b$ }, $l = $lcm{ $a$, $b$ }

The last **Theorem says, for a P.I.D and its elements $a$, $b$, $d = $gcd{ $a$, $b$ }, $l = $lcm{ $a$, $b$ }, their relation has similar construction with the relation in ℤ.
We also saw a property of a P.I.D in Exercise 3.13.9(Link below). I felt that P.I.D is a representative Integral Domain and it has important roles.

링크 ( Link )

2017/11/06 - [학업(Studies)/현대대수학(Abstract Algebra)] - [171106 현대대수학(환)] 3장 13절 '소 아이디얼과 극대 아이디얼' 연습문제

< 4장 1절 '주 아이디얼 정역' 연습문제 1 ~ 4 >
Stage 4-1 'Principal Ideal Domains' Exercises 1 ~ 4

연습문제 4) 마지막 정리를 증명하는 내용이었는데, 오늘 강의를 거친 결과 생각보다 간단하게 얻을 수 있는 내용이었음에도 불구하고 내 풀이는 쓸데없이 길다. ㅋㅋ; 나중에 아래에 수정을 통해 올릴 듯.

다음 단원은 4장 2절이 아닌, 6장 6절과 6장 7절이 될 예정이다. 단항 아이디얼 정역과 밀접한 관계에 있는 유클리드 정역과 유일 인수분해 정역을 다룬 뒤에 4장 2절로 갈 예정!

Exercise 4) It made me prove the last **Theorem. Finally I solved it, but there was more simple solution for it. :P I'll upload it below.(later)

Next Stage will be not 4-2, but 6-6 and 6-7. After dealing with Euclidean Domain(E.D) and Unique Factorization Domain(U.F.D), we'll see 4-2 then.