매개변수방정식과 미분법, 포트리스 포탄 궤도(Naver Blog)

네이버 블로그의 11년 4월 14일자 '매개변수방정식과 미분법, 포트리스 포탄 궤도' 포스팅입니다. 진짜 성장의 자취가 많이 담긴 글입죠.

안녕하세요~ 조조입니다!

오늘은 매개변수방정식이라는 수학적 개념을 다루면서 포트리스 발사궤도를 어떻게 식으로 쓸 수 있는지 한 번 알아보도록 하겠습니다!

...뭐,

실제로 게임을 하면서 이런 세세한 부분까지 들어가진 않습니다만, 일상생활에서 이런 것에 대해 한번쯤 생각해보는 것도 나쁘진 않을거라 생각합니다.' '

 

저같은 경우는 초3때 포트리스를 접했고, 중1때부터 포트리스의 발사궤도를 식으로 어떻게 표현할 것이냐를 머릿속으로 생각하고 고민했었습니다만

......지금에 와서 생각해보면, 매개변수방정식을 배우지 않고선 아무리 생각해도 무리가 아니었나 싶습니다 ^^..ㅋㅋㅋ

 

우선 이 방정식에 대해서 알아보자면,

매개변수방정식이란 매개변수를 가지고 x와 y를 정의함으로써 x와 y의 좌표를 알아내는 것입니다.

어떨까요? 이런 걸예로 들 수 있겠습니까?

x = 2t

y = 4t-2

여기서 x, y를 변수(정확히는 x를 독립 변수, y를 종속 변수라고 합니다.), x와 y를 이어주는 매개역할을 하는 변수 t는 '매개'변수라고 합니다.

x = 2t를 y = 4t-2에 대입하면

y = 4t-2 = 2(2t)-2 = 2x-2가 됩니다.

그런데 잠깐...

x = t

y = 2t-2인 경우에도

y = 2x-2가 되는데, 뭐가 다르냐?라고 묻는다면...변수의 증가율 차이가 되겠네요.

 

t=1이라면 위의 경우는 (2, 2)라는 좌표를 가지지만, 아래의 경우는 (1, 0)이 되니까요.

t는 보통 시간 단위, 특히 초 단위를 나타내는 매개변수로써 자주 쓰이게 됩니다.

 

그럼, 위로 던진 공이 낙하하는 포물선을 표시해보겠습니다.

중력가속도가 약 10m/(s^2)이므로, x축의 방향으로 공이 초당 2cm씩 움직이고, 2초 후에 공이 최고 높이에 도달할 때

x = 2t

y = -10(t^2)+40t = -10{(t-2)^2}+40

이렇게 되는군요.

2초 후 공이 최고높이 40cm에 도달하고, 그 동안 공은 x축의 방향으로 4cm만큼 움직여 있겠군요.

4초 후 공이 다시 땅에 떨어질 때의 좌표는 (8, 0)이 되겠습니다.

이런 식의 표현을..바로 매개변수방정식이라 표현하는 겁니다.

간단히 다시 설명하면, x축의 방향으로의 움직임과 y축의 방향으로의 움직임을 따로 정의한다는 것이겠지요.

 

다음으로 미분에 관한 설명입니다.(미분법에 대한 건 안다고 가정하고(모르는 사람은 교과서를 참조해주세요.) 설명하겠습니다.)

보통은 y = f(x)로 나타내어진 함수를 미분하면 어떻게 됩니까? 아마도 y = f`(x)라고 말하는 사람이 많을 것입니다. 하지만 이건 틀린 표현입니다.

함수 y = f(x)를 x에 대하여 미분하면 dy/dx = f`(x)가 됩니다.

그럼 y = f(x)를 t에 대하여 미분하면 어떻게 될까요? ...그 답은, f(x)는 t에 관한 식이라곤 일체 찾아볼 수 없는, t에 대해서는 상수함수입니다.

즉 dy/dt = 0이 되지요.

매개변수방정식을 미분할 때는 바로 이러한 점들을 주의하면서 행해야 합니다.

 

그리고 우리가 여기서 알아야 할 점이 하나 있습니다.

'이동 거리'를 미분하면 '속력'이 되고, 이를 다시 미분하면 '가속도의 절댓값'이 됩니다.

'변위'를 미분하면 '속도'가 되고, 이를 다시 미분하면 '가속도'가 된다는 점을 알아야 합니다.

(이동 거리는 변위의 절댓값, 속력은 속도의 절댓값입니다. 변위와 속도는 벡터값으로서, 크기와 '방향'을 같이 가집니다.)

 

 

포트리스에서, 포탄의 궤도로는 포물선형을 그리고 있습니다. 일반적인 경우 y = a(x^2)+bx+c의 꼴로 나타낼 수 있겠지만(위의 식을 대입하면, y = -2.5(x^2)+20x), 항상 일반적인 경우만 있는건 아닙니다.

문제가 되는 게 하나 있다면 그것은 바로...

 

'바람'이겠지요.

바로 이 풍속이라는 개념이 중학교 시절의 제 탐구활동을 방해하고야 만 것입니다. =ㅂ=^

자, 그럼 다시 하겠습니다.

x축의 방향으로 초당 2씩 움직이고, 2초 후에 공이 최고 높이에 도달할 때의 방정식은

x = 2t

y = -10(t^2)+40t

로 나타낼 수 있습니다.

그런데 여기서 바람이 분다고 하더라도, 포트리스에서는 포탄이 위로 솟구치는데 있어서의 페널티는 전혀 변함이 없이, 풍속방향으로 x좌표만 변하지 않았습니까??

그렇다면 y = -10(t^2)+40t는 그대로일 것이고,

x값만 어떻게 조정하면 될것입니다.

 

바람의 운동량이 W라고 했을 때, 포탄의 질량을 g라고 하면 포탄은 W/g만큼의 가속도를 받게 됩니다.(W=ga)

x를 t에 대하여 미분하면 x축 방향으로의 속도이지요.

한번 더 t에 대하여 미분하면 x축 방향으로의 가속도가 됩니다.

d^2x/dt^2 = 0이었지만, 바람에 의해 가속도를 받았으므로, d^2x/dt^2 = W/g라고 합시다.

처음 발사되었을 시점의 x축 방향으로의 포탄의 속도는 오른쪽으로 2이므로, dx/dt=2였지만, 가속도를 적분하면 (W/g)t가 되므로 이를 더해주면

dx/dt = 2+(W/g)t가 됩니다.

처음 발사되었을 시점의 포탄의 이동거리가 0이므로, x는 이제 dx/dt를 적분한 값이 되면 끝입니다.(적분상수의 값이 0입니다.)

x = 2t+(W/g)(t^2)/2

여기에 y값만 다시 적어주면...

x = 2t+(W/g)(t^2)/2

y = -10(t^2)+40t가 나올 것입니다.

이것이...주어진 조건에서의 포탄의 비행궤도 방정식입니다.

 

P.S.포트리스에서의 중력 가속도도 똑같이 -9.8m/s^2(약 -10m/s^2)라고 가정하고 적었습니다.

태클 감사히 받겠습니다. 아직 대학교 1년생일 뿐이라서 헛점이 많을 수 있습니다. ^^..;;

[출처] 매개변수방정식과 미분법, 포트리스 포탄 궤도|작성자 l조조하사l

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→ 포트리스 포탄 궤도를 식으로 표현하기 위해 끙끙댔던 중학교와 고등학교 1학년 1학기의 제 모습이 떠오르네요. 추억 돋네 (170113)

포트리스 포탄궤도의 수식 표현은 여기 글에 있듯이, 포트리스를 초등학교 3학년 때 접하고 6학년 때부터 고민했던 문제입니당. 매개변수 방정식을 고등학교 1학년 때 배우기 전엔 뭘 어떻게 해야 할 지도 모른채 끙끙거렸죠. 물론 바람이 없을 때의 수식은 중학교 때 2차함수를 배운 직후 써낼 수 있었습니다만 그걸로 만족하지 않았던 것 같습니다. 하여간 이 포스팅은 네이버 블로그에서 초등학교 3학년부터 고등학교 1학년까지의 긴 기간을 연결해주는 하나의 포스팅이 되었더랬죠.

포트리스는 지금은 많이 잊혀진 게임이지만 아직 서비스도 하고 있고...(포트리스 2 레드로 지금도 서비스 중입니다) 다시 한번 추억 돋네용

지금 보면서 문제가 될 점을 찾는다면...f(x)를 t로 미분한 값은 x와 t의 관계식이 주어지지 않은 경우에는 본문의 내용이 맞지만, x와 t의 관계식이 주어져 있다면 이야기가 달라집니다. 바로 위의 문단과 이어서 생각하면 혼란이 생길 수 있으니 참고!