[170209 확률론] 3-2. 연속확률분포 - 지수분포

[170209 Probability Theory] 3-2. Continuous Probability Distribution - Exponential Distribution

<지수분포의 설명과 정의>
Explanation and Definition of Exponential Distribution

균등분포 다음은 푸아송분포의 연속확률분포 버젼인 지수분포.
다시 확률론 책을 펴기 전 푸아송분포라고 알고 있었던 확률분포가 사실 지수분포였다. 엌ㅋ
지수분포의 무기억성은 너무 당연하게 받아들여져서 확실하게 기억하고 있었는데 그것만 한 번 떠올려봤어도 그런 착각 없었지 싶다 ㅜㅜ

지수분포 유도는 푸아송분포를 가지고 시작한다. 노트의 설명이 충분하리라고 본다.
다만 m=1/θ에 관한 내용은 베르누이분포와 기하분포의 관계를 연속버젼으로 옮긴 것으로 생각하면 편할 듯.
(기하분포 포스팅 - 1회 성공을 위한 기대 시행횟수는 성공확률의 역수)

Next of uniform distribution is the Exponential Distribution, which is continuous version of Poisson distribution.
It was exponential distribution that I've guessed as Poisson distribution lol
But memoryless of exponential distribution is so natural for me. If I thought about that, I won't confused about Poisson and exponential distribution.

Derivation of exponential distribution is start from Poisson distribution. I think above shot has enough explanation if you can read Korean.(again, or open your Probability Theory book :D)
But about this formula : 
You may turn back to Geometry/Negative Binomial Distribution post. There's a tool for understanding it.
(the number of trial for 1 success = inverse of probability of success) 
You can change it into continuous version.

<평균과 분산, 적률생성함수와 분포함수, 그리고 무기억성 이야기>
Memo for Expectation and Variance, MGF and Distribution function, Memoryless

지수분포 역시 푸아송분포처럼 모수가 주어짐으로써 결정되는 연속확률분포이다.
이전에서처럼, 여기에서는 지수분포의 평균과 분산이 , 의 값과 같음을 아는 것으로 넘어가자.

지수분포의 경우 무기억성 얘기는 한 번 하고 넘어가야 할 필요가 있을 것 같은데, 저 한글을 문장으로 잘 풀어쓸 경우 다음과 같이 된다.

여기에서 = 대신 >가 나오는 이유는 지수분포의 특징과 연결지어 생각하면 될 듯.
(지수분포의 유도과정에서도 등호의 사용보다는 개념을 유연하게 이용하기 위해 부등호를 사용함을 생각하자)

Exponential distribution is also have a parameter θ as Poisson distribution.
As before, let's focus on  and .

Let's check about memoryless of exponential distribution.(light blue color note : probability of event occurred at x-time is equal to probability of event occurred after (x+y)-time, that event was occurred at y-time) As mathematical expression,

It seems little ambiguous. Why we have to use > rather than =?
I guess that is connected with character of exponential distribution. We saw how exponential distribution derived from Poisson distribution. We used distribution function which is strictly connected with concept of >.

<지수분포의 기댓값 구하기. 부분적분법과 이상적분 계산법을 알면 풀 수 있는 내용>
Calculation of Exponential distribution. You can do this with Improper integration by parts.

xf(x)의 합을 계산하는 것이 기댓값 구하는 방법. 그대~로 따라가다보면 세타가 나오는데, 마지막에 샤프로 칠해둔건 인간미로 봐주십사 ㅎㅎ

-1/θ를 나눠줘야 하는데 곱함.

( Summation of xf(x) ) = ( E(X) ). This shot will be enough for expectation of exponential distribution.
Mistake for humanity :) I didn't divided -1/θ but multiplied.

<지수분포의 분산과 적률생성함수 구하기. 실수가 많았음 ㅠㅜ>
Calculation for Variance and MGF of exponential distribution. There are quite many mistakes.

분산 꼭 저렇게 안 해도 되고, 구해서 θ 제곱 빼면 됨
지금 생각해보니 그렇게 할걸 그냥..

적률생성함수는 사실 그렇게 막 어려운건 아니고 지수 x를 공유하는 애들을 한데 묶은 뒤에 모수만 맞춰주면 되는데, 색칠놀이한거 빼고 보시면 될듯.
( 1/θ - t ) > 0 이야기는 뭐냐면 모수 θ=1/m가 양수가 되어야 한다는 이야기.
로 계산된 건 적분식이 모수 (1/θ - t)를 갖는 지수분포의 확률합임을 이용한 것.

For Variance, There's another route that calculating . It seems easier than solution in shot.

Calculating moment generating function of exponential distribution is not so hard. Gather terms have exponent x and make parameter negative of the coefficient of x. Let's see.

 has a story about 'Parameter  is positive'. Since is the summation of exponential distribution with parameter  and it is equal to 1.