[170223 정수론] 정수의 중요한 성질들
[170223 Number Theory] Important properties of Integers
<정수가 가지는 중요한 성질들 - 체의 공리와 정역>
Important properties of Integers - Axiom of Field and Integral Domain
정수가 실수 또는 유리수의 부분집합이기 때문에 그들이 가지는 연산 '$+$', '$\cdot$'이 정수 위에서도 정의된다. 다만 정수 위에서는 보통 곱셈에 대한 역원이 없으므로(역원이 보통 유리수가 되어버림) 곱셈에 대한 5번째 성질로 대체하는데, 곱셈에 대한 4번째 성질 대신 5번째 성질을 만족하는 정수 체계를 정역이라고 한다.
Since the set of integer is a subset of the set of real(or rational) number, '$+$' and '$\cdot$' is defined on the set of integer also. But generally there is no inverse number with respect to '$\cdot$' in the set of integer, so we use other property for '$\cdot$'. And we call the set of integer as 'Integral Domain' which satisfies the field of axiom, but 5th property for $\cdot$ instead of 4th property.
<정수가 가지는 중요한 성질들 - 순서 공리 / 수학적 귀납법>
Important properties of Integers - Order Axiom / Mathematical Induction
정수가 실수의 부분집합이기 때문에 실수가 만족하는 순서 공리를 정수 역시 만족한다. 삼일률과 (양수)+(양수)=(양수), (양수)$\cdot$(양수)=(양수)라는 기본적인 성질이 포함되어 있다. 조금만 생각해보면 이해할 수 있는 공리이니 패스.
참고로 삼일률은 숫자를 하나 아무거나 뽑으면 그 숫자는 0이거나 양수이거나 음수이다 라는 실수 입장에선 지극히 당연한 법칙이다.
Since the set of integer is a subset of the set of real number, it is based on 'Order Axiom' too. There are Trichotomy and $a>0, b>0 \Rightarrow a+b>0, ab>0$.
Trichotomy : $\forall a \in R, a>0$ or $a=0$ or $a<0$ ($R$ is the set of real numbers)
수학적 귀납법은 고등학교 때에도 상당히 많이 써온 증명법. 모든 자연수 $n$에 대하여 성립하는 명제를 증명할 때 주로 사용하는 추론 과정이다. 두 가지 형태가 있는데, 우선 1일 때 명제가 참임을 증명한 뒤에, 어떤 수 $n=k$에서 명제가 참이면 다음 수 $n=k+1$에서도 참임을 보이면 모든 자연수에 대하여 명제가 참이라는 게 보여지는 익숙한 형태가 있는가 하면, $n=1$일 때 명제가 성립함을 보인 뒤 $n$ 미만인 모든 수에 대하여 명제가 성립함을 보여 $n$에서 성립함을 보이는 형태가 있다.
수학적 귀납법의 메커니즘을 잘 알고 있다면 아래쪽의 정리가 당연하게 받아들여질 듯.
Mathematical induction is well-known method to prove some propositions including 'For all natural number'. There are 2 versions : for propositional function P
1) $P(1)$ is true and If $P(k)$ is true, then $P(k+1)$ is true $\Rightarrow$ $\forall n, P(n)$ is true
2) $P(1)$ is true and $\forall k$ with $1\le k<n$, $P(k)$ is true $\Rightarrow$ $P(n)$ is true
If you understand the mechanism of 1), then you may understand below theorem easily.
<정수가 가지는 중요한 성질들 - 정수의 정렬성 / 나눗셈 정리 / 페아노 공리>
Important properties of Integers - Well-Ordering Principle / Division Algorithm / Peano Axioms
정수의 정렬성은 왜 이름이 이렇게 붙었는지는 모르겠지만 자연수의 부분집합에 관한 성질이다.
자연수의 공집합이 아닌 부분집합은 가장 작은 원소를 가진다는 것.
나눗셈 정리는 임의의 두 정수를 나누었을 때, 항상 몫과 나머지가 존재한다는 정리. 나머지는 당연히 나누는 수보다는 작고, 0이상이어야 한다.
나눗셈 정리와 유클리드 정역이 관계가 있었던 것으로 아는데, 대충 이야기할 수는 있지만 정확하게 표현할 수 있을지는 미지수라 패스.
Well-ordering principle : For any non-empty subset $S$ of the set of natural number, $S$ has the minimal element.
Division algorithm : For any integer $a$, $b$, there exists $q$(quotient) and $r$(remainder) such that $0\le r<b$ and $a=bq+r$.
I've known that division algorithm and Euclidean domain have a relation but I can't express it exactly.
페아노 공리는 처음 들어서 나름대로 이해해서 적어보았다. 근데 외우기 쉽다.
자연수집합을 1이랑 따름함수라는걸로 생성할 수 있다는 거랑 따름함수의 함숫값으로 1이 나올 수 없다는 것만 따로 명시해주면 끝.
실제로 어떤 공리인지는 위 사진 또는 책을 참고. 아니면 위키에서도 잘 나와 있다.(영문으로는 아래)
Peano Axiom is the first time for me. But I think I can remember it easily.
Peano Axioms : The set $N$ satisfies followings is the set of natural number.
1) $1\in N$
2) Successor function $S:N\rightarrow N$ is injective.
3) There is NO element in $N$ whose successor is $1$
4) For a subset $K$ of $N$ which satisfies followings, $K=N$
i) $1\in K$ / ii) $\forall n\in K, S(n)\in K$
