[170309 현대대수학] Lagrange의 정리

[170309 Abstract Algebra] Lagrange's Theorem

Lagrange의 정리는 그냥 유한군의 성질로서 많이 써먹는 정리 정도로 되어있었는데,
이번에 증명 방향에 대한 설명을 듣고나서 개인적으로 한 번 해봄

아래 사진은 그 증명과정. 개인적인 풀이이므로 믿지 말 것?
...검토는 해보기

Lagrange's theorem is well-using theorem in Abstract algebra which shows a property of subgroups of a finite group. Yesterday I heard the sketch of proof, and I proved it by myself.

Shot below is the proof. It may be not enough for the theorem. Check it!

<Lagrange의 정리와 그 증명>
Lagrange's theorem and its proof

1번째 줄은 각각의 $a\in G$에 대해 $aH$를 생각하고, 그들을 모아놓은 집합을 상정하는 것.
2번째 줄은 유한군 $G$의 모든 원소가 $aH$들 중 하나에 속해있다는 것($G$의 항등원 $e$가 $H$에 속해있기 때문)
3번째 줄부터 아래에 내어쓰기한 Since가 있는 줄까지는 $aH$를 모은 집합이 $G$의 분할임을 보인 것.
For each 줄부터 내어쓰기한 From이 있는 줄까지는 각각의 $a\in G$에 대해 $H$와 $aH$가 대등함을 보인 것.
Let 줄부터 마지막까지는 $G$는 결국 그의 부분군 $H$와 위수가 같은 집합들로 분할되므로 위수를 비교할 때 $\left| G\right|$가 $\left| H\right|$의 배수임을 밝힘으로써 증명 끝

1st line : Consider $aH, \forall a\in G$ and ${aH|a\in G}$
2nd line : $\forall a\in G, a \in G$
3rd line ~ Since $a_1, a_2$ ... : ${aH|a\in G}$ is a partition of $G$
For each $a \in G$,  ... ~ From i), ii), iii) ... : $H \sim aH, \forall a \in G$
Let $n=|G|$, ... ~ : $|H|$ divides $|G|$, Q.E.D.