조조하사의 Gaming Nexus☆ :: [170310~15 복소해석학] 2장 '복소평면' 연습문제풀이

[170310~15 복소해석학] 2장 '복소평면' 연습문제풀이 - 3

학업(Studies)/복소함수론(Complex Analysis)2017. 3. 15. 14:44

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[17.03.10~15 Complex Analysis] Stage 2 'Complex Plane' exercises - C

저번 금요일부터해서 오늘까지 6일동안 풀어 마무리한 2단원 문제들.
다음 복소수 숙제도 숙제지만,
거리공간에 대한 위상적 개념과 정리, 증명방향 등을 익혀두고 넘어가는 게 낫겠다고 생각함.

특히 컴팩트 부분은 확실하게 하고 넘어갈 예정

일단 이 포스팅에서는 컴팩트 관련 문제 이전의 '열린 집합, 닫힌 집합' 관련 문제까지만 담았으며, 3월 17일에 강의를 듣게 될 부분이다.

Since last Friday, till today. For 6 days I solved all of these stage 2 exercises.
I guessed that topological mathematics' concepts and theorems are quite important to study other subjects.

Especially, compactness part.

In this post, I uploaded the problems about open and closed set, not compactness.
And it'll be in lecture on 17th, March

*티스토리에 올린 사진을 확대해서 보는 게 '자르기' 기능을 사용하지 않은 사진만 가능한 듯해서 이번 포스팅에서는 '자르기' 기능을 사용하지 않았음.
여기에 추가로, 최근 문맥에 맞게 문장을 정리하는 연습을 하는지라 교정부호가 곳곳에 있음 ㅠㅠ
산만하게 보여도 이해 부탁함

You may use 'zoom in' for only the shots which I didn't cut.
So I didn't use cutting for this post.
Plus, I'm training to fix my contexts. There will be some correction marks.
Forgive me about those :)

<2단원 '복소평면' 연습문제 풀이 33 ~ 34>
Stage 2 'Complex Plane' exercises 33 ~ 34

<2단원 '복소평면' 연습문제 풀이 35-(가)>
Stage 2 'Complex Plane' exercises 35-(a)

책이 잘못 되어있는 것 같아서, 풀어보고 아 이거겠구나 싶은 형태로 바꿈.
두 집합의 내부의 합집합은 합집합의 내부에 포함되지만 역은 성립하지 않음.

I guessed that there is an error in my book, so I changed it after I solved it as another problem.
Check : $int(A) \cup int(B) \subset int(A\cup B)$ but converse is false.

<2단원 '복소평면' 연습문제 풀이 35-(나) ~ 36>
Stage 2 'Complex Plane' exercises 35-(b) ~ 36

<2단원 '복소평면' 연습문제 풀이 37 ~ 38>
Stage 2 'Complex Plane' exercises 37 ~ 38

<2단원 '복소평면' 연습문제 풀이 39 ~ 40>
Stage 2 'Complex Plane' exercises 39 ~ 40

<2단원 '복소평면' 연습문제 풀이 41-(1). 길어서 (1), (2)로 나눔>
Stage 2 'Complex Plane' exercises 41-(1). Divided (1) and (2) because it was long

41-(1)의 처음은 $\bar{A}=A\cup A'$임을 보이는데 주력함.
Now take 부분부터는 $\bar{A}$가 닫힌 집합임을 보이기 위해
$(\bar{A})^{c}\\ \subset int((\bar{A})^{c})\\ =int(A^{c}\cap (A')^{c})\\ =int(A^{c})\cap int((A')^{c})$
임을 보이는 첫 과정으로 $(\bar{A})^{c}$의 임의의 원소가 $int(A^{c})$에 포함됨을 보이는 과정.

At first, I focused on showing $\bar{A}=A\cup A'$ in 41-(1).
'Now take ~' : To show $\bar{A}$ is closed(i.e. $(\bar{A})^{c}\subset int((\bar{A})^{c})$),
I showed that $(\bar{A})^{c}\subset int(A^{c})$

<2단원 '복소평면' 연습문제 풀이 41-(2)>
Stage 2 'Complex Plane' exercises 41-(2)

41-(2)에서는 $(\bar{A})^{c}$의 임의의 원소가 $int((A')^{c})$의 원소임을 보임으로서
$(\bar{A})^{c}\\ \subset int(A^{c})\cap int((A')^{c})\\ =int((A\cup A')^{c})\\ =int(\bar{A}^c)$
임을 보였다.

이제 $\bar{A}$의 여집합이 열려 있으므로 $\bar{A}$는 닫힌 집합임이 증명되었다.

In 41-(2), I showed that $(\bar{A})^{c}\subset int((A')^{c})$ and so,
$(\bar{A})^{c}\\ \subset int(A^{c})\cap int((A')^{c})\\ =int((A\cup A')^{c})\\ =int(\bar{A}^c)$

Now since $(\bar{A})^{c}$ is open, $\bar{A}$ is closed.