[170319 위상수학] '1. 거리공간 - (1) 기본개념' 정리들

[170319 Topological Mathematics] '1. Metric Space - (1) Basic Concepts' Theorems

복소수의 위상 파트 하다가 증명 3문제땜에 이틀 걸린게 분해서 위상 정리들 다시 증명 중.
우선은 1단원인 거리공간의 1단원 기본개념들부터.

In complex analysis, I solved 3 problems about topology part for 2 days. I'm annoyed now.
I'm proving topological mathematical theorems.

At first, the first chapter and the first stage, Metric Space - Topological basic concepts.

<거리공간에서의 열린 집합과 닫힌 집합의 필요충분조건 - 가>
Necessary-sufficient condition of Open and Closed set in the Metric spaces - A

<거리공간에서의 닫힌 집합의 필요충분조건 - 나 & $\bar{A} = A \cup A'$>
Necessary-sufficient condition of Closed set in the Metric Spaces - B & $\bar{A} = A \cup A'$

<$\bar{A} = (int)A \cup \partial{A}$>
$\bar{A} = (int)A \cup \partial{A}$

$A$의 안점과 $A$의 경계점들을 모으면 $A$의 닫힘이 된다는 이야기를 했어야 하는데, 정신을 차려보니 $A$와 $A$의 경계를 합집합시켜버린 뒤였다. 하지만 $A$에 해당하는 이야기들을 $A$의 내부에 해당하는 이야기로 바꾸면 마찬가지로 성립한다. $A$의 경계와는 겹치는 부분이 없을 뿐.

I had to say $\bar{A} = intA \cup \partial{A}$, but I already said another word, $\bar{A} = A \cup \partial{A}$. But we need same method to prove $\bar{A} = intA \cup \partial{A}$. Difference is, $A \cap \partial{A} \neq \phi$ but $intA \cap \partial{A} = \phi$.

<거리공간 $X$의 부분집합 $A$의 닫힘은 닫힌 집합, $A$의 내부는 열린 집합.>
In metric space $X$, closure of $A$ is closed in $X$ and interior of $A$ is open in $X$

<너무나 간단한 정리 하나와 상당히 유용한 정리 하나.>
So simple one and so useful one.

<앞의 정리 2의 2번 증명 계속 & $A$의 밀착점 $x$는 자신으로 수렴하는 $A$의 수열 하나를 수반한다.>
to be continued... for previous theorem 2. & Adherent point $x$ of $A$ in $X$ holds a sequence in $A$ converges to $x$.

위상적 개념을 수열과 연관지어 설명하는 상당히 중요한 정리 중 하나.
학부 때 첫 위상공부 할 때도 거리공간을 이해하는 데 이놈 덕을 엄청 봤다.

This is one of important theorems which connects topological concepts & sequence in $X$.
It helped me when the first time that I've studied topological mathematics.(in college. :D)

<열린 집합, 닫힌 집합의 다른 표기법 & 모든 열린 집합은 열린 구의 합집합으로 표현가능>
Another expression of open and closed subsets in metric space
& Every open subset can be expressed as the union of open balls

산만함 주의!! 닫힌 집합의 다른 표기법에 대한 증명에서 잠깐 헷갈려서 엉망이 됐다.

Caution for distraction!! I boiled proof in the right side by temporary confusion.