[170328 위상수학] 거리공간의 완비성 복습

[170328 Topological Mathematics] Review for Completeness in Metric Space

드디어 거리공간의 완비성 부분에 대한 복습을 끝냈당!

학부과정에서 거리공간의 완비성에 관한 부분은 짧은 정리 4개 정도만 하고 실수공간에서의 수열에 대한 정리를 다루었지만(사실 베르의 카테고리 정리는 증명하면서 배운 것 같다는 느낌도 들었지만 기억이 안남ㅋㅋㅋㅋ) 이번에는 더하기 알파를 해서 완비성 판정법(구글링하니 있더라. 증명은 안 봤음)까지 증명해보았다.

Finally I completed review about completeness in metric space!

I did proof of 4 theorems which I studied in college(Baire category theorem is what I couldn't remember lol) and 2 more theorems(Baire Category theorem, Completeness Criterion from googling - Of course, I didn't see its proof in there).

<완비공간과 수열의 수렴, 코시수열의 정의, '수렴하는 수열은 코시 수열'의 증명>
Definition of Completeness, Convergent/Cauchy sequences.
Proof of 'Convergence $\Rightarrow$ Cauchy'

완비공간을 막연하게 '코시 수열은 수렴'으로 알고 있다가 '완비 부분 공간은 닫힌 집합' 증명에서 피 봄. 어디에서 수렴하는지까지 제대로 알아야 함을 깨닫게 된 계기가 되었다.

I've known the definition of completeness metric space as 'Cauchy sequence? then Convergent'. It's quite vague and It blocked my proof about 'A is Complete $\rightarrow$ A is Closed in $X$'.
Now I know about completeness perfectly. 'Cauchy in $A$($\subset X$) $\rightarrow$ Convergent in $A$'.

<'부분수열이 수렴하는 코시 수열은 수렴', '완비 부분 공간은 닫힌 집합'의 증명>
'Cauchy sequence is convergent if its some subsequence converges'
'Complete subset $A$ in $X \rightarrow A$ is Closed subset in X'

<'완비 거리 공간의 닫힌 집합은 완비 집합'의 증명>
'Every Closed subset in Complete Metric space is Complete'

<구글에서 우연히 보게 된 완비성 판정법과 그 증명>
Completeness Criterion that I found by googling and its proof

(내 생각)아무래도 임용고시는 수학에 얼마나 몸담고 있는지를 보기보다는 알고 있는 지식 간에 어떤 연결고리를 형성할 수 있는지를 볼 것이기 때문에, 판정법이라고 한다면 알아둬야 할 필요가 있을 것이라고 생각했다.

I guessed that examinations will test my connections and applications among the knowledge rather than how deep I studied about mathematics. So completeness criterion may be useful !

<베르의 카테고리 정리와 증명, 조밀집합의 정의>
Baire Category Theorem and its proof, Definition of dense and nowhere dense

※ 따름정리 부분 삭제(20150415 '다시보기' 포스팅에서 수정)
Corollary Deleted(Fixed on 20150415 'Revisited' post)

베르의 카테고리 정리에 대한 이야기를 읽으면서 베르 공간에 대한 이야기, 쇼케 게임과 쇼케 공간, 그리고 베르 공간의 게임 이론적 정의를 살펴볼 수 있었다. 생각지도 못한 곳에서 게임을 만나 기분이 신선했다. 음음.

그리고 베르의 카테고리 정리를 증명하고 따름정리를 말하면서 조밀집합이 어떤 것인지 직관적으로 다가갈 수 있게 되었다. 연습이 조금 더 필요할 듯.

I saw about Baire Category theorem, and I found about Baire space, Choquet game and Choquet space, Game theoretical definition of Baire space.
Because of meeting with game in unpredicted place, I felt refreshed :D

And after proved Baire Category theorem, I recognized dense subsets well. Some practice will be needed.