[170412 위상수학] 거리공간의 콤팩트성 복습 - 1

[170412 Topological Mathematics] Review for Compactness in Metric Spaces - A

거리공간에서의 콤팩트성은 '하이네-보렐 정리'에 관련된 이야기를 다루기 때문에 상당히 길어지고 오래갈 듯. 감안하고 봐주길!

It'll take long time because this chapter deals with 'Heine-Borel theorem' and its proof.
It contains quite variable definitions and theorems, so make yourself strained :)

<콤팩트공간의 정의와 열린 덮개의 정의 + $X$의 콤팩트한 부분공간은 $X$의 닫힌 집합>
Definition of Compact metric space and Open cover for $A (\subset X)$
Compact subspace of metric space $X$ is closed in $X$

사실 콤팩트라는 게 '집합의 성질'을 이야기하는 건줄 알았는데, 이번에 콤팩트가 '공간의 성질' 중 하나임을 깨닫게 됨. 거리공간의 부분집합은 항상 부분공간이 되니까 딱히 구분을 안했던 모양이다.
(책을 보니까 closed 뒤에 붙어있는 in $X$가 compact 뒤에는 안 붙더라)

I understood that Compactness is a concept for not 'Set' but 'Space'. I didn't need to distinguish because of : Every subset of metric space becomes subspace.
(I found that there is 'in X' on the right side of the adjective 'closed' but not 'compact'.)

<콤팩트 거리 공간의 닫힌 부분집합은 콤팩트 + 유클리드/거리 공간의 Heine-Borel 정리>
Closed subset of Compact metric space is Compact subspace.
Heine-Borel theorem in both Euclidean/Metric Space

이 정리, 복소수함수론 때 괜히 고생했던 놈이라 내 좀 잘 알지

Because of failure in complex analysis lecture, I know it well ;)

<Heine-Borel 정리 증명 시작! 콤팩트 공간은 점렬콤팩트 + 점렬콤팩트, 전유계, 유계의 정의>
Departure of Proof of Heine-Borel theorem : Every Compact space is Sequentially Compact
Definition - Sequentially Compactness, Totally Boundedness, Boundedness of Metric space

<유클리드/거리 공간의 Heine-Borel 정리 3번 명제 비교 + 전유계 거리 공간은 유계>
Comparing condition 3. in Heine-Borel theorem between Euclidean/Metric space
Every Totally Bounded space is Bounded.