[170414 위상수학] 거리공간의 콤팩트성 복습 - 2 (Ver. 170510)

[170414 Topological Mathematics] Review for Compactness in Metric Spaces - B (Ver. 170510)

<유클리드 공간에서의 쌍방향 함의문 둘 : 유계와 전유계, 닫힌 집합과 완비 부분공간>
2 Bi-Implications in Euclidean Space : Bounded-Totally Bounded, Closed-Complete

거리 공간에서의 하이네-보렐 정리와 유클리드 공간에서의 하이네-보렐 정리는 3번째 동치명제가 다르기 때문에 이 사실에 대한 이야기를 하려고 했다. 유클리드 공간에서는 유계와 전유계, 부분 공간의 닫힘성과 완비성이 동치 조건이 된다.

참고로 전유계 공간은 항상 유계(콤팩트성 복습 - 1 참고), 완비 부분 공간은 항상 닫힌 집합(완비성 복습 참고)이다.
유클리드 공간이 거리 공간보다 태생부터(?!) 강한 제약을 가진 공간이므로, 오히려 추가로 필요한 제약은 약하다고 생각하면 되겠다.

In Heine-Borel theorem, there are some difference in 3th statements between Euclidean space and general Metric space. So I guessed I have to mention it.
In Euclidean space, subspaces' Boundedness and Totally boundedness are equivalent and Closedness and Completeness are equivalent.

Check that every Totally bounded space is Bounded space(in Review for Compactness - A) and every Complete subspace is closed in $X$(in Review for Completeness)
Because of Euclidean spaces have more restriction than general Metric spaces, additional necessary conditions are weak than Metric spaces.

<점렬콤팩트공간은 전유계이고 완비인 공간이다. $(2) \Rightarrow (3)$>
$X$ is Sequentially Compact $\Rightarrow X$ is Totally bounded and Complete $(2) \Rightarrow (3)$

<전유계이면 모든 수열이 부분 코시수열을 가진다.(사진 수정됨, 170510)>
<전유계이고 완비인 공간은 점렬콤팩트 공간이다. $(3) \Rightarrow (2)$>
$X$ is Totally Bounded $\Rightarrow$ Every sequence in $X$ has Cauchy subsequence(Modified, 170510)
$X$ is Totally bounded and Complete $\Rightarrow X$ is Sequentially Compact $(3) \Rightarrow (2)$

상당히 증명이 깔끔하다. 전유계 공간의 모든 수열이 부분 코시수열을 가지는 것만 증명하고 나면 완비성이 그 부분 코시수열을 수렴하도록 만들고, 따라서 점렬콤팩트 공간이 된다.

It's quite fresh. After proving 'Every sequence in Totally bounded space $X$ has Cauchy subsequence', completeness of $X$ makes the subsequence convergent.
Now since 'Every sequence in Totally bounded, complete space $X$ has convergent subsequence', $X$ is a Sequentially compact space.

$(3)\Rightarrow (2)$ 증명은 깔끔하긴 한데, 그 위에꺼 증명이 잘못 되어 있어서 수정함.

Because of the upper side proof seems not exact, I rewrote it.

<콤팩트 공간은 전유계이고 완비인 공간이다. $(1) \Rightarrow (3)$>
$X$ is Compact $\Rightarrow X$ is Totally bounded and Complete $(1) \Rightarrow (3)$

혹시 1에서 바로 3으로 가는 게 궁금하다면 위 사진을 참고!

이제 $(2) \Leftrightarrow (3)$임을 보였으므로, 남은 것은 이것을 가지고 $(1)$을 증명하는 것이다!
아마...4번 포스팅 이후까지 가지 않을까 싶다.

If you wondered at the direct proof of $(1) \Rightarrow (3)$, check above shot!

Now we have $(2) \Leftrightarrow (3)$, we have to proof $(2) \wedge (3) \Rightarrow (1)$.
I guess it needs 2 or more posts.