[170422 위상수학] 거리공간의 콤팩트성 복습 - 3 (Ver. 170510)
[170422 Topological Mathematics] Review for Compactness in Metric Spaces - C (Ver. 170510)
사진은 조금 더 많아졌지만, 결국 3개의 포스팅으로 유클리드/거리 공간의 하이네-보렐 정리에 대해 증명을 끝낼 수 있었당!
내일 있을 위상수학 스터디에서 얘네들이 기억날지는 한 번 맞부딪쳐봐야!
(마지막 '요약'에서 각각의 정리를 압축해서 전달할 수 있었던걸로 봐서, 내것이 된듯한 느낌적인 느낌?)
With more shots, finally I did the proof of Heine-Borel theorem in Euclidean/Metric space!
Can I remember them in tomorrow study group activity? Well, check it out! ;)
(But I'm quite confident because I didn't check anything for making 'Summary')
<전유계인 거리공간은 분리가능(역은 성립하지 않는다.)>
<거리공간의 기저와 제2가산 거리 공간(제2가산공리를 만족하는 거리 공간)의 정의>
Totally bounded Metric space is Separable(Converse does not hold)
Definition - Base of open sets for $X$
Definition - $X$ is a Second-countable($X$ satisfies Second-countable axiom)
<분리가능한 거리 공간은 제2가산 / 보조정리 - 거리 공간의 기저가 될 필요충분조건>
Separable Metric space satisfies Second-countable axiom
Lemma - Necessary-Sufficient Condition of Base of open sets for $X$
얘는 살짝 고생 좀 함.
거리 공간의 기저가 될 필요충분조건이 위상 공간에서와 달라서 기저의 정의를 다시 보고 쓰느라 애를 좀 썼다.
하지만 증명과정은 퓨어함 헤헤
It was quite troublesome lol.
I reviewed Necessary-Sufficient Condition of Base for $X$ because there was some difference between Metric space $X$ and Topological space $X$.
But as I speak, proof is pure :D
<(참고)제2가산공리를 만족하는 거리 공간은 분리가능(거리 공간에서만)>
<제2가산공리를 만족하는 거리 공간은 린델뢰프 공간>
(You can pass it)Second-countable Metric space is Separable(only in Metric space)
Second-countable Metric space is Lindelöf space
ㅈㅅ 깜빡하고 린델뢰프 공간과 가산콤팩트의 정의를 빼먹음(두 컷 아래에 있음)
Sorry, I missed the definition of Lindelöf space and countably compact.(It's in second shot below)
<점렬콤팩트한 거리 공간은 가산콤팩트(수정됨, 170510)>
Sequentially compace Metric space is Countably compact(Modified, 170510)
내 3일동안 씨름했던 그 정리.
왜인지는 모르겠지만, 분명 유한부분덮개가 존재해서 모순이 발생할거야!라고 확신한 결과 결론을 보지 못하다가, 어제 위상수학 관련 하소연 포스팅을 하나 올리고 다른 가능성을 탐색했더니 됐다. 임의로 잡은 셀 수 있는 열린 덮개가 사실 셀 수 없었다 카더라.
생각해보면, 유한부분덮개가 존재해서 모순이 생길 것 같았으면 콤팩트성을 보이는 데 이렇게 돌아 돌아 갈 리가 없는데. 나는 빡빡이다 X 100
(근데 틀린 부분이 있더라. $X$의 점을 잡을 때 그 점으로부터 가산개의 서로 구분가능한 열린 덮개의 원소들이 뽑히지 않을 수 있음! 170510)
물론, 바로 되진 않았고 6시간 정도 더 잡고 있었던 것 같다.
덧붙이자면, 거리 공간에서 콤팩트, 점렬콤팩트, 가산콤팩트, 극한점 콤팩트는 동치이다.
I fought against this theorem for 3 days.
I don't know why, but I was quite confident in that there will exist a finite subcover of $F$! So it will contradict to Countably Incompactness of $X$. Arbitrary countable open cover $F$ was not countable :(
After I upload a post about Topological Mathematics yesterday, I complete the proof by figuring other possibility out.
I missed that if the existence of finite subcover contradicts to assumption, then proof for Compactness won't be difficult like this - _-d
What a Foolish boy...
(And I missed some error yeah :D When we get a sequence in $X$, dual elements of $F$ cannot be always countable. 170510)
Of course, it takes more(about 6 hours) times.
In Metric space, additionally, Compactness and Sequential compactness and Countable compactness and even Limit Point Compactness are all Equivalent.
<하이네-보렐 정리 $(2) \wedge (3) \Rightarrow (1)$ 요약정리>
<그리고 드디어 정의 - 린델뢰프 거리 공간 / 가산콤팩트 거리 공간>
Summary of $(2) \wedge (3) \Rightarrow (1)$ in Heine-Borel theorem
and finally Definitions - Lindelöf Metric space, Countably compact Metric space
<거리 공간에서의 하이네-보렐 정리의 증명을 위한 도식>
Geometry for the proof of Heine-Borel theorem in Metric space
