[170503 확률론] 7단원 '표본분포' 연습문제 풀이
[170503 Probability Theory] Stage 7 'Sample Distribution' Exercises
<드디어 입성한 7단원 '표본분포' 연습문제 1~4>
Finally! Stage 7 'Sample Distribution' Exercises 1~4
<7단원 '표본분포' 연습문제 5~8>
Stage 7 'Sample Distribution' Exercises 5~8
<7단원 '표본분포' 연습문제 9~11>
Stage 7 'Sample Distribution' Exercises 9~11
9번 문제에서, 서류 복사 매수에 대한 분포를 원화로 바꿔서 적용하면 안 된다는 걸 풀다가 발견. 그럼 큰일남.
다행히도, 여기서 막 헤매진 않았지만..
In exercise 9, I found that changing measures with given probability distribution must be dangerous.
Fortunately, I just tested about it.
<7단원 '표본분포' 연습문제 12~13>
Stage 7 'Sample Distribution' Exercises 12~13
13번 문제) 답지 보니까 그냥 '같다' 돼있길래 빡쳐서 중심 극한 정리를 증명해버렸다.
내가. 한다. 증명. 중심. 극한. 정리...
중간에 한 번 다 지우고 다시 하긴 했지만 혼자서 할 수 있다는게 정말 뿌듯했다. 헷헤헤
Exercise 13) I saw the correct answer but there was just 1 word - 'same', so I proved the Central Limit Theorem.
I. do. proof. Central. Limit. Theorem.
I've retried that once, but finally I did it by myself. I'm proud of you!(Not you reader :P)
<7단원 '표본분포' 연습문제 14~18>
Stage 7 'Sample Distribution' Exercises 14~18
아무래도, 아직 카이제곱분포와 $t$-분포에 익숙하지 않음을 뼈저리게 느낄 수 있었던 문제풀이었다.
15번) 모수 $\theta =2$이면 자유도가 $n=2\alpha$인 카이제곱분포가 됨을 까먹고 있었다. 그래서 이 문제 풀면서 카이제곱분포의 정의를 다시 봤다. ㅠㅠ 모수 $\theta =2$, $\alpha =9$인 감마분포로 처음에 풀었더니 0.92가 나오던데, 확률론에서 소수점 이하 세 자리도 아니고 0.03이나 다르면 거의 틀린거 아님?
...아님 말고.
18번) $t$-분포는 모분산이 주어져 있지 않을 경우에 표본평균의 분포를 알아볼 때 주로 쓰는 분포라 카더라. 그런데 정의가 무척이나 복잡하다.(뒤에 $F$-분포도 있는데, 그건 더더욱. 임용에 $F$-분포는 다행히도 안 들어간다.) 정의를 말하자면, 자유도 $n$인 $t$-분포는 표준정규분포 $N(0, 1)$을 따르는 확률변수 Z와 자유도 $n$인 카이제곱분포를 따르는 확률변수 $Y$에 대해 확률변수 $T = \frac{Z}{\sqrt{Y/n}}$가 따르는 분포이다.
이제 18번 문제를 살펴보자. 이 문제는 $t$-분포에서 등장하는 정리를 쓰는 문제이다. (정리의 내용은 17년 2월 11일 코시/$t$ 분포 또는 21일 확률론 포스팅 마지막 사진 참고.) 증명과정은 보지 않고도 대충 끼워맞출 수 있었기에 내 나름대로 상세히 보였다. 후후
...증명과정 끼워맞추는 데 1시간 쓴 건 안 자랑. $t$-분포 정의가 워낙 복잡하다보니 계산실수가 어마어마하게 나더라. 이 부분 연습해야 할 것 같다.
I'm still not skillful to solve the problems about Chi-square Distribution and $t$-Distribution.
ex 15) I forgot that if $\theta =2$, then the Gamma Distribution becomes $\chi ^2$-Distribution with the Degree of Freedom $n=2\alpha$.
So I refreshed the definition of $\chi ^2$-Distribution.
When I solved the problem with Gamma Distribution with parameter $\theta =2$, $\alpha =9$, my answer derived as 0.92, but when I solved with $\chi ^2$-Distribution, I got the right answer 0.95. It's quite critical difference :( isn't it?
ex 18) $t$-Distribution is well-used to find the distribution of Sample Mean, if the Population Variance is not given. But its definition is too complex to understand.(Moreover, $F$-Distribution is harder to understand then $t$-Distribution. But it won't be a problem for my exam.)
As I say the definition, $t$-Distribution is defined by the Standard Normal Distribution and $\chi ^2$-Distribution with the Degree of Freedom $n$. Let them as $Z(\sim N(0,1))$ and $Y(\sim \chi ^2(n))$, then the Random Variable $T = \frac{Z}{\sqrt{Y/n}}$ follows $t(n)$, which is the $t$-Distribution with the Degree of Freedom $n$.
Now let's see the exercise 18. This problem requires a theorem about $t$-Distribution.(You can see the theorem in the last shot of 170211-Cauchy/$t$ Distribution or 170221 Probability Theory post.) I could reconstruct proof of the theorem, so I showed the process as detailed as I can.
...But I used about 1 hour to reconstruct the proof. Moreover, I did a number of mistake.(Because of complex definition of $t$-Distribution) I have to do more exercise about this chapter.
