[170627 현대대수학(군론)] HK가 G의 부분군이 될 조건 (1) (170723 수정)

[170627 Abstract Algebra(Group Theory)] Conditions for $HK \le G$ (1) (Ver. 170723)

<군 $G$와 그 부분군 $H$, $K$에 대하여 $HK$가 $G$의 부분군이 될 조건>
For a group $G$ and its subgroups $H$, $K$, some conditions for $HK \le G$

아무래도 2주간 쉬어서 그런지 수학 잡기가 쉽지 않아서, 이번 학기 중 기억에 남았던 내용으로 스타트를 끊었다.
그런데 의외로 간단히 생각해볼 수 있는 문제가 꽤 오래 발목을 잡아서(스샷 중 의문) 부분) 오늘 하루(그 중 3시간만)를 알차게 보낸 듯.

내 생각엔 아마도, '된다'이지 않을까.(내 생각이 맞다면.) 난 왜 그 풀이를 찍지 않았던가. ㅠㅜ

Because of 2-week long rest, I was troubled with restarting mathematics. So I started with the valuable(for me) in semester.

Today I blocked by an (unpredictable) natural problem.( '의문)' part in above shot ) So I spent 3 hours with this page :D

I guessed that answer of the problem will be 'OK' with some reason. Now I regret passing the solution without a shot.

<'17.06.28 - 추가됨(Added)>
깊은 고민 끝에 의문)에 대한 결론을 얻었다. 사실 오늘의 취침은 자다가 깼다가의 반복이었는데 틈틈이 계속 이 문제를 생각해보다가,
내가 알고 있던 부분군이 될 필요충분조건인 '$H$의 임의의 두 원소의 연산결과와 역원이 모두 $H$의 원소이다.'와 위 문제의 형식이 같다는 것을 깨달음.

그저 표현이 다를 뿐이라고 생각할 수 있겠지만, 그만큼 내가 알고 있는 표현에 익숙하지 않다고 생각되어서 생각이 많아졌음 ㅠ

Now I'm in conclusion for the question in the shot. Today I woke up a few times slightly, so I could get some chance to think about this.

I've known that NS condition to be a subgroup as '$\forall h_1, h_2 \in H, \quad h_1 \cdot h_2 \in H \quad \wedge \quad h_1^{-1} \in H$', and I found that it's a similar form to the problem in the shot.

Someone may guess that they have just different expressions, but I guessed I wasn't friendly to already-known condition.

<'17.07.23 - 추가됨(Added)>

<야호! 2번의 역명제에 대한 반례>
Hooray! It's a counter-example for the converse of 2nd statement.