[170713 현대대수학(환)] 2절 '환의 기본 성질' 요약 정리(Ver.180321)

[170713 Abstract Algebra(Ring)] Summary of Chapter 2 'Basic Properties of Rings'(Ver. 180321)

<2절 '환의 기본 성질' 요약 정리 (1)>
Summary of Chapter 2 'Basic Properties of Rings' - A

<2절 '환의 기본 성질' 요약 정리 (2) / '항등원을 가지는 환 위에서의 가군'의 정의>
Summary of Chapter 2 'Basic Properties of Rings' - B / Definition of Module on a Unital Ring

가군은 사실 생각도 안 하고 있었는데, 첫 번째 사진의 두 번째 정리들을 가만 보고 있자니 군의 작용 부분이랑 연결이 될 것 같아 요리조리 맞춰 보고나서 관련 내용을 찾아봤더니 가군이 튀어나오더라.

그리고 충격적인 사실을 발견했다. 위키피디아에서는 환의 정의를 곱셈에 대한 항등원의 존재성까지 포함해서 내리고 있었다는...
1960년 이후의 트렌드라 카더라.

At first 'Modules' are out of my plan. While trying to make a relation between 2nd Theorem in the first shot and Action of a Group, I figured a new algebraic model 'Modules' out.

Moreover I found something annoying. In Wikipedia, the existence of Unity belongs to the definition of a Ring.
It told me that was a trend since 1960s.

<덧셈, 곱셈에 대한 항등원 관련 여러 가지 정의 및 성질들.>
Definitions and Properties about the Zero and the Unity in a Ring

<나눗셈환(=사체, 비가환체)의 단원군 / 환이 정역이 될 동치조건들>
Unit Group of a Division Ring(=Skew field) / NS Conditions for a Ring to be an Integral Domain

오옹ㅇ오... 신기한 성질들 많아... 왜 학부땐 몰랐을까; ㅠㅜ
특히 정역이어야 소거법칙이 성립한다는 부분은 중요할 듯!

How many fresh theorems..! Why I couldn't feel this in the university?
I guess, it is especially important that the cancellation law is held iff $R$ is an Integral Domain.

<체는 자명하게 정역이고 나눗셈환(사체 아님!!) / 명제의 역은 유한환인 경우 성립 + 웨더번의 소정리>

Every Field is both an Integral Domain and a Division Ring(Not Skew Field!!) obviously
Converse of above is held when the Ring $R$ is Finite + Wedderburn's Little Theorem

**180320 수정

사체와 나눗셈 환이 구분되는 용어임을 깨닫게 되어 수정함.
나눗셈 환 중 비가환인 경우만 특수하게 사체라고 한다.
I fixed this post because I cognized that the Skew Field and the Division Ring is distinguishable.
Skew Field is a special case of Division Ring which does not satisfy Commutative Law about Multiplication.

우와  웨더번 소정리 리얼 소름; 유한성이 정역이랑 나눗셈환은 둘째치고 영역까지 그냥 통째로 체로 만들어버리네;

How shocking Wedderburn is! The finity makes not only Integral Domains and Division Rings but also Domains into Field!

<오늘의 스터디에서 등장했던 질문들>
Questions from today's study group

부울 환 얘기도 사실 이 포스팅 업로드하면서 같이 했어야 하는데 그냥 내일 할까 생각중...

I passed Boolean Ring today, where I studied today. Tomorrow(7/14) I'll do it :)

**180321 추가(added)

'정칙원'에 관한 내용이 포함된 아래 포스팅을 링크함. 모든 환은 영원, 정칙원, 영인자들로 구성된다.
Linked a post including 'Regular Element of Rings'. Every Ring consists of 0 and Regulars and Zero-divisors.

2017/09/03 - [학업(Studies)/현대대수학(Abstract Algebra)] - [170903 현대대수학(환)] 연습문제 보충자료들 (Ver.170912)