[170801 미분기하학] 1장 5~7절 연습문제 풀이

[170801 Differential Geometry] Exercises of Stage 1 - Chapter 5~7

정말 오래간만의 티스토리질인듯 ㅎㅎㅎ

Long time no see, my TISTORY lol

<1장 5절 '1차 형식' 연습문제 풀이 1 ~ 3(b)>
Exercises of Stage 1 - Chapter 5 '1-forms' 1 ~ 3(b)

<1장 5절 '1차 형식' 연습문제 풀이 3(c) ~ 5>
Exercises of Stage 1 - Chapter 5 '1-forms' 3(c) ~ 5

변명은 아니지만...
1차 형식 문제를 풀면서 답이 이게 맞는지, 잘 풀고 있는지 상당히 애매한 경우가 많았다.
아직 정의에 익숙하지 않아서겠지...

Seriously speaking :
I confused with those problems about '1-forms'.
I guess it is derived from lack of understanding definitions

<1장 5절 '1차 형식' 연습문제 풀이 6 ~ 8>
Exercises of Stage 1 - Chapter 5 '1-forms' 6 ~ 8

사실 이렇게까지 복잡할 문제는 아닐 테지만, 내 성격상 보조정리나 공식을 가끔 쓰고 싶지 않아 하는 상황이 있는데 이 때가 아니었나 싶다.
...는 그것이 이런 참사로 이어짐. 물론 장단점은 있겠지만, 개인적으로 이건 마이너스가 크지 않나 싶다.

실제로 수학학원에서도 가끔 내 이런 공부법 때문에 익숙치 않은 학생들이 고생하고 있지 않을까 가끔 생각 ...;;

Exercise 8 won't be difficult problem as you see, but I tried to solve this problem without using lemmata and formulas.
...and it caused this disaster. Although this will have advantage and disadvantage, I guess it gives me more minus.

In real, My students in cram school may have trouble with this study strategy.

<1장 5절 '1차 형식' 연습문제 풀이 9 ~ 10>
Exercises of Stage 1 - Chapter 5 '1-forms' 9 ~ 10

<1장 5절 '1차 형식' 연습문제 풀이 9, 11>
<1장 6절 '미분 형식' 연습문제 풀이 1 ~ 2>

Exercises of Stage 1 - Chapter 5 '1-forms' 9, 11
Exercises of Stage 1 - Chapter 6 'Differential forms' 1 ~ 2

9번 문제가 증명하는게 끝인 줄 알았더니 예시 주고 임계점 찾아보라는 문제가 더 있었다. 그래서 11번 뒤에 따로 씀

I thought the proof is all for exercise 9, but there was 1 more activity. So I wrote it after exercise 11.

<1장 6절 '미분 형식' 연습문제 풀이 3 ~ 6>
Exercises of Stage 1 - Chapter 6 'Differential forms' 3 ~ 6

<1장 6절 '미분 형식' 연습문제 풀이 7 ~ 8(a)>
Exercises of Stage 1 - Chapter 6 'Differential forms' 7 ~ 8(a)

처음에 쌍방향 화살표가 무슨 뜻인지 모르고 한참을 끄적끄적 하다가 알아냈다. 대응되는 형태로 바꿀 수 있다는 이야기를 하는 것 같았다.
7번 문제 끝맺음을 Candy 문구가 가린 점은 너그럽게 봐주세여 헤헤

I cognized what $\longleftrightarrow$ means after a little time that I tried to solve this problem. It seems to tell us that we can exchange them by exchanging dual concepts(Frame Fields / Differential forms).
Forgive me about that 'Candy' hid the end of sentence :D

<1장 6절 '미분 형식' 연습문제 풀이 8(b) ~ 9>
Exercises of Stage 1 - Chapter 6 'Differential forms' 8(b) ~ 9

<1장 7절 '사상' 연습문제 풀이 1 ~ 3>
Exercises of Stage 1 - Chapter 7 'Mappings' 1 ~ 3

<1장 7절 '사상' 연습문제 풀이 4 ~ 6>
Exercises of Stage 1 - Chapter 7 'Mappings' 4 ~ 6

6번의 (b) 문제는 임용고시랑 전혀 연관이 없어보였던 데다가 문제풀이 방향도 감도 안와서 패스함.
I passed exercise 6(b) because it seems not helpful for my exam. Definitely, I couldn't find the sketch of proof.

<1장 7절 '사상' 연습문제 풀이 7 ~ 8>
Exercises of Stage 1 - Chapter 7 'Mappings' 7 ~ 8

<1장 7절 '사상' 연습문제 풀이 9(a) ~ 9(b)>
Exercises of Stage 1 - Chapter 7 'Mappings' 9(a) ~ 9(b)

(a)번 방식의 풀이가 적절한지는 확신 못하겠는데, 나름 다변수해석학을 배운 보람이 느껴져서 좋았다.
그런데 (b)번을 풀면서 혼란이 왔다. 다변수벡터함수의 도함수와 접사상은 같은 의미를 가지고 있는게 아닌가? 하는 의문 때문이었다.
다변수벡터함수 $F$의 도함수는 정의역 위의 점 $p$의 $F$에 대한 상 $F(p)$ 근처의 '모양'을 근사하는 선형변환을 표현하고,
$F$의 접사상은 점 $p$의 $F$에 대한 상 $F(p)$ 에서의 '움직임'을 근사하는 역할을 한다. 떫*

I'm not confident with my solution for 9(a). But because it was such of Multi-variable Analysis, I'm glad to solve it.
I got blocked at 9(b), because of confusion between Derivative and Tangent Map of a Multi-variable Vector-valued Function.

For $F$ : ℝ$^n\longrightarrow$ℝ$^m$ : Multi-variable Vector-valued Function and $p\in$ ℝ$^n$,
$DF(p)$ is a Linear Transformation from ℝ$^n$ into ℝ$^m$ which approximates 'shape' on the Neighborhood of $F(p)$
$F_{*p}$ is a Linear Transformation from $T_p($ℝ$^n)$ into $T_{F(p)}($ℝ$^m)$ which approximates 'move' on the Neighborhood of $F(p)$... blah blah

<1장 7절 '사상' 연습문제 풀이 9(c) ~ 10>
Exercises of Stage 1 - Chapter 7 'Mappings' 9(b) ~ 10