[170816 미분기하학] 2장 1절 '내적' 연습문제 풀이(1)

[170816 Differential Geometry] Exercises of Stage 2 - Chapter 1 'Inner Products'

<2장 1절 '내적' 연습문제 1 ~ 3>
Stage 2 - Chapter 1 'Inner Product' Exercises 1 ~ 3

<2장 1절 '내적' 연습문제 4>
Stage 2 - Chapter 1 'Inner Product' Exercise 4

<2장 1절 '내적' 연습문제 5 ~ 6>
Stage 2 - Chapter 1 'Inner Product' Exercises 5 ~ 6

내적 단원을 연습문제를 풀면서 중요하다고 느꼈던 것 두 가지 중 하나는 벡터의 외적이 결합 법칙을 만족하지 않는다는 것이었다. 연산이 정의된 가장 기본적 체계 중 하나인 군을 이루기 위한 기본 성질 중 하나인 결합 법칙은 교환 법칙이 성립하지 않는 친숙하지 않은 연산들 사이에서도 대체로 만족하는 것이었는데, 벡터의 대표적인 연산인 외적이 이를 만족하지 않는다는 것은 상당히 의외였다.

There were 2 things I felt them important while I solve Exercise 2.1 .
One of them is 'the Cross Product for Vectors not satisfies Associative Law'. Associative Law is an important rule for a Group, what is one of some fundamental systems in basic Abstract Algebra. And it is satisfied under representative operations we know, even if they not satisfy Commutative Law(it may be a reason to feel that they're unfriendly). So I embarrassed by the new knowledge.

나머지 하나는 현대대수학 3-7단원 '전행렬환' 단원 연습문제에서 본 '직교행렬'의 기하학적 의미와 성질이었다. $n$차 직교행렬 $A$는 같은 걸 내적하면 1, 다른 걸 내적하면 0이 되는 $n$개의 행벡터를 위아래로 나열하여 만든 것임을 알 수 있었다. $AA^T$의 $ij$원이 직교행렬 $A$의 $i$행 벡터와 $j$행 벡터를 내적한 결과임을 알 수 있었으므로 이를 식으로 나타내면 $AA^T=I_n$

Other is geometric meanings and properties of the 'Orthogonal Matrices', what I studied in Abstract Algebra Stage 3 - Chapter 7 'the Full Matrix Ring' exercise. $n$th order Orthogonal Matrix $A$ is a collection of $n$th order Row-Vectors where if ($i$th Vector)$\cdot$($j$th Vector)$=\delta_{ij}$ and the property is notated by $AA^T=I_n$.