[170822 현대대수학(환)] 3장 4절 '준동형사상과 동형사상' 요약 정리 (Ver. 170903)
[170822 Abstract Algebra(Rings)] Summary of Stage 3 - Chapter 4 'Homomorphisms and Isomorphisms'
<3장 4절 '준동형사상과 동형사상' 요약 정리 (1)>
Summary of Stage 3 - Chapter 4 'Homomorphisms and Isomorphisms' (1)
포함된 내용들 :
환 준동형사상과 환 동형사상, 두 환이 동형임의 정의
정리 - 기본적인 환 동형사상들과 환 준동형사상의 합성
Contents :
Definitions - Ring Homomorphism and Ring Isomorphism, Isomorphic Rings
Theorems - Fundamental Ring Isomorphisms and Composition of Ring Homomorphisms
<3장 4절 '준동형사상과 동형사상' 요약 정리 (2)>
Summary of Stage 3 - Chapter 4 'Homomorphisms and Isomorphisms' (2)
포함된 내용들 :
정리 - 환 준동형사상의 연산에 대한 기본 성질들
정의 - 환 준동형사상에 대한 준동형 상 / 환 준동형사상의 핵
정리 - 환 준동형사상에서의 자명한 부분환들
Contents :
Theorem - fundamental properties of Ring Homomorphisms under the ring operations
Definitions - Homomorphic Image under a Ring Homomorphism / Kernel of a Ring Homomorphism
Theorem - Trivial Subrings in a Ring Homomorphism
<3장 4절 '준동형사상과 동형사상' 요약 정리 (3)>
Summary of Stage 3 - Chapter 4 'Homomorphisms and Isomorphisms' (3)
포함된 내용들 :
정리 - 환 준동형사상이 전사/단사일 필요충분조건
정리 - 환 준동형사상에 의해 보존되는 환의 성질들
예시 - 환 준동형사상 찾기
덧셈군의 멱등원 개수에 대하여
Contents :
Theorem - NS Condition to be an Injective/Surjective Ring Homomorphism
Theorem - some properties which are preserved under a Ring Homomorphism
Examples - Finding all Ring Homomorphisms
Remark - About the number of Idempotents in ℤ$_n$
<3장 4절 '준동형사상과 동형사상' 요약 정리 (4)>
Summary of Stage 3 - Chapter 4 'Homomorphisms and Isomorphisms' (4)
포함된 내용들 :
예시 - ℤ$_{12}$, ℤ$_{30}$의 멱등원과 ℤ$_{12}$의 환 자기준동형사상
정리 - 환 동형사상에 의해 보존되는 환의 성질들
따름정리 - 환 동형사상에 의해 보존되는 환의 구조
<170901 수정> 맨 처음에 ℤ$_{30}$의 멱등원을 찾기 위해 0부터 일일이 계산했었다. 이후에 멱등원을 찾는 다른 방법이 있을지 개인적으로 궁금해서 교수님께 자문을 했었는데, 이 부분에 대해서는 그렇다할 정리 등을 생각해내지 못하셨다. 그래서 그냥 대충 계산해서 찾는걸로...헿
Contents :
Examples - All Idempotents in ℤ$_{12}$, ℤ$_{30}$ and all Ring Endomorphisms on ℤ$_{12}$
Theorem - properties of a Ring which are preserved under a Ring Isomorphism
Corollary - Systems of Ring which are preserved under a Ring Isomorphism
<170901 revisited> I calculated every Idempotents of ℤ$_{30}$ from 0 to 29. After that, I sent a question mark to professor for another theorem to find the Idempotents. In conclusion, I still calculate every of them to find the Idempotents. ToT
