[170823 미분기하학] 2장 3절 '프레네 장치' 조조식 요약 정리 & 중요 연습문제 (Ver. 190422)

[170823 Differential Geometry] Summary and important Exercises of Stage 2 - Chapter 3 'Frenet Apparatus' for Vjjo (Ver. 190422)

<2장 3절 '프레네 장치' 조조식 요약 정리 (1)>
Summary of Stage 2 - Chapter 3 'Frenet Apparatus' for Vjjo (1)

포함된 내용들 :

정의 - 프레네 장치 $T$(단위접벡터장), $N$(주법벡터장), $B$(양법벡터장), $\kappa(곡률 함수), $\tau$(비틀림 함수)
정리 - 프레네-세레 공식(프레네 공식)

드디어 등장한 프레네 장치와 프레네 공식! 곡선의 각 점마다 많은 정보를 담고 있는 틀장을 형성하여 ℝ$^3$ 위에 놓인 곡선을 연구하는 데 핵심이 되는 장치이다. 감히 곡선론의 꽃이라고 말할 수 있을 듯
*참고 : 2장 3절에서는 각 점에서의 속력이 1인 단위 속력 곡선에 대한 프레네 장치를 다룬다. 임의 속력 곡선에 대해서는 다음 절에서...

Contents :

Definitions - Frenet Apparatus  ┌ $T$(Unit Tangent Vector Field), $N$(Normal Vector Field), $B$(Binormal Vector Field),

└ $\kappa$(Curvature Function), $\tau$(Torsion Function)

Theorem - Frenet-Serret Formulas

Finally we met the Frenet Apparatus and Frenet Formulas! They forms a Frame at each point on a Curve in ℝ$^3$, which is informative enough to research the Curve. As I speak, it is a core of the Curve Theory in Differential Geometry.
*Remark : In chapter 3, we'll deal with some unit speed curves by using Frenet Apparatus. Go to the chapter 4 for arbitrary curves.

<2장 3절 '프레네 장치' 조조식 요약 정리 (2)>
Summary of Stage 2 - Chapter 3 'Frenet Apparatus' for Vjjo (2)

포함된 내용들 :

예시 - 주어진 꽈배기선에 대한 프레네 장치 계산하기
참고 - 프레네 근사식에 대하여
정의 - 접촉평면과 평면곡선

*프레네 근사식에 대하여 - 계산의 엄밀성을 위하여 복잡하게 적어놓았지만, 일차항과 이차항의 $T(0)s$, $N(0)s^2$의 영향력에 밀려 삼차항의 $T(0)s^3$와 $N(0)s^3$은 영벡터로 수렴하는 것으로 생각하게 되면 $s=0$ 근방에서의 프레네 근사식은 $$\alpha (s) \sim \alpha (0) + T(0) s + \frac{\kappa (0)N(0)}{2!} s^2 + \frac{\kappa (0)\tau (0)B(0)}{3!} s^3$$과 같이 간단하게 나타낼 수 있다. 물론 $s=s_0$ 근방에서의 프레네 근사식도 테일러 근사식처럼 마찬가지로 만들어 내면 된다. $$\alpha (s) \sim \alpha (s_0) + T(s_0)(s-s_0) + \frac{\kappa (s_0)N(s_0)}{2!} (s-s_0)^2 + \frac{\kappa (s_0)\tau (s_0)B(s_0)}{3!} (s-s_0)^3$$

Contents :

Example - Calculating Frenet Apparatus for the given Helix
a remark about Frenet Approximation
Definitions - Osculating Plane / Plane Curve

*a remark about Frenet Approximation - the Formula may seems complex. If we consider $T(0)s^3$, $N(0)s^3 \longrightarrow 0$ as $s \longrightarrow 0$ by comparing with $T(0)s$ and $N(0)s^2$, then the Frenet Approximation of $\alpha$ on the Neighborhood of $s=0$ is $$\alpha (s) \sim \alpha (0) + T(0) s + \frac{\kappa (0)N(0)}{2!} s^2 + \frac{\kappa (0)\tau (0)B(0)}{3!} s^3$$
Certainly, if you want the Frenet Approximation on the Neighborhood of $s=s_0$, then you're able to have it like the Taylor Approximation. $$\alpha (s) \sim \alpha (s_0) + T(s_0)(s-s_0) + \frac{\kappa (s_0)N(s_0)}{2!} (s-s_0)^2 + \frac{\kappa (s_0)\tau (s_0)B(s_0)}{3!} (s-s_0)^3$$

<2장 3절 '프레네 장치' 조조식 요약 정리 (3) / 연습문제 4, 5>
Summary of Stage 2 - Chapter 3 'Frenet Apparatus' for Vjjo (3) / Exercises 4, 5

포함된 내용들 :

따름정리 - 평면곡선이 될 필요충분조건 / 곡선이 원이 될 필요충분조건과 그 반지름
연습문제 4 - T N B의 외적과 그 교대성
연습문제 5 - 특수한 벡터장과의 외적을 이용한 프레네 장치의 미분표현

Contents :

Corollary - NS Conditions to be a Plane Curve & a Circle and determining its Radius
Exercise 4 - Cross Product of $T$, $N$, $B$ and alternating
Exercise 5 - Differential Representation by using the Cross Product with a particular Vector Field

<2장 3절 '프레네 장치' 연습문제 6, 7-(a) (190421 수정됨)>
Stage 2 - Chapter 3 'Frenet Apparatus' Exercises 6, 7-(a) (190421 fixed)

포함된 내용들 :

연습문제 6 - 단위속력곡선의 한 점에서의 접촉 원의 정의와 유일성

190421 수정됨) '수알못'님께서 댓글로 6번 문제의 열률(꼬임률) 계산에서 프라임 기호(')가 빠진 것을 지적해주심. ㄳㄳ

Contents :

Exercise 6 - Definition and Uniqueness of the Osculating Circle at a point on an Unit-speed Curve

190421 fixed) Added prime(') on calculation of torsion in Exercise 6, which has pointed out by a guest. Thanks!

<2장 3절 '프레네 장치' 연습문제 7-(b), 9, 10>
Stage 2 - Chapter 3 'Frenet Apparatus' Exercises 7-(b), 9, 10

포함된 내용들 :

연습문제 7 - 재매개화의 향이 보존되고 바뀌고에 따라서 $T$, $B$의 부호가 달라지며, $N$, $\kappa$, $\tau$는 영향을 받지 않는다.
연습문제 9 - 접촉평면/법평면/조정평면의 정의

Contents :

Exercise 7 - the signs of $T$, $B$ depend on the Orientation of reparametrization and the signs of $N$, $\kappa$, $\tau$ don't change.
Exercise 9 - Definitions of Osculating Plane/Normal Plane/Rectifying Plane

<2장 3절 '프레네 장치' 연습문제 10, 11>
Stage 2 - Chapter 3 'Frenet Apparatus' Exercises 10, 11

포함된 내용들 :

연습문제 10 - 곡선이 구면 위에 있게 될 필요충분조건과 그 반지름
연습문제 11 - 두 단위속력곡선이 평행할 충분조건(단위접벡터장/양법벡터장을 이용하여)

*연습문제 11 - 읽다보면 '이차종속'이라는 말이 나오는데 '일차종속'으로 바꿔 읽어주심 ㄳㄳ ㅋㅋㅋㅋ 지우고 쓰고 하다보니..

-> 그래서 고쳤음.(190422 수정됨)

Contents :

Exercise 10 - NS Condition to be a Spherical Curve and determining its radius
Exercise 11 - Sufficient Condition for Parallel curves(by using $T$ and $B$)

*Exercise 11 - A fix needed. '이차종속' $\longrightarrow$ '일차종속'

-> So I fixed it.(190422 fixed)