[170819 현대대수학(환)] 3장 9절 '아이디얼과 잉여환' 요약 정리 & 연습문제 풀이

[170819 Abstract Algebra(Rings)] Summary and Exercises of Stage 3 - Chapter 9 'Ideals and Factor Rings'

약간의 변화를 주기로 했다. 업로드 날짜를 제목으로 쓰기보다는 해당 단원의 공부를 완료한 날짜를 제목에 쓰는 것이 더 도움 되는 방향이 아닐까 생각하면서, 오늘부터는 아래 내용을 공부한 날짜를 기입하기로 했다. 따라서 업로드일은 29일이지만, 제목은 19일!

<3장 9절 '아이디얼과 잉여환' 요약 정리 - 1>
Summary of Stage 3 - Chapter 9 'Ideals and Factor Rings' - A

포함된 내용들 :
정의 - 환의 아이디얼
예시 - 정수환의 아이디얼
정리 - 단원을 포함하는 아이디얼은 전체 환
예시 - 비가환체/체의 아이디얼

Contents :
Definition - Ideal of a Ring
Example - Ideals of ℤ
Theorem - If an Ideal contains a Unit element, then the Ideal becomes a whole Ring
Example - Ideals of a Skew Field and a Field

<3장 9절 '아이디얼과 잉여환' 요약 정리 - 2>
Summary of Stage 3 - Chapter 9 'Ideals and Factor Rings' - B

포함된 내용들 :
정리 - 환 $R$의 두 아이디얼 $I$, $J$에 대하여 $I+J$, $I \cap J$는 $R$의 아이디얼이다. + 귀납적 따름정리
정의 - 단항 아이디얼과 생성원에 의해 생성된 아이디얼
정리 - 가환환 $R$에서 단항 아이디얼 $(a)$는 생성원 $a$($\in R$)를 포함하는 가장 작은 아이디얼이다.
정리 - 가환환 $R$에서 $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$은 $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n$($\in R$)을 포함하는 가장 작은 아이디얼이다.

Contents :

Theorem - For $I$, $J$ $\lhd R$, $I+J$, $I \cap J$ $\lhd R$ + a Corollary derived by Induction
Definition - Principal Ideals and Ideals generated by some Generators
Theorem - In a Commutative Ring $R$, $(a)$ is the smallest Ideal containing $a$.
Theorem - In a Commutative Ring $R$, $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ is the smallest Ideal containing $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n$.

<3장 9절 '아이디얼과 잉여환' 요약 정리 - 3>
Summary of Stage 3 - Chapter 9 'Ideals and Factor Rings' - C

포함된 내용들 :
정의 - 단항 아이디얼 환과 단항 아이디얼 정역(PID)
예시 - 단항 아이디얼 정역의 예 : 임의의 체, ℤ, ℤ$_n$($n\ge 2$)
정의 - 환의 멱영원
정리 - 가환환에서 멱영원의 집합은 아이디얼을 이룬다.

Contents :

Definition - Principal Ideal Rings and Principal Ideal Domains(PID)
Examples of PID : Fields, ℤ, ℤ$_n$($n\ge 2$)
Definition - Nilpotent of a Ring
Theorem - the set of Nilpotents in a Ring forms an Ideal

<3장 9절 '아이디얼과 잉여환' 요약 정리 - 4>
Summary of Stage 3 - Chapter 9 'Ideals and Factor Rings' - D

포함된 내용들 :
예시 - 정역의 멱영원 / ℤ$_n$($n\ge 2$)의 멱영원 / 환 $R$에 대하여 $N(Mat_n (R))$이 갖는 성질들
정의 - 환 $R$의 아이디얼 $I$ 위에서의 잉여환(상환)과 그 연산

Contents :

Examples : Nilpotents of an Integral Domain and ℤ$_n$($n\ge 2$) / Properties of $N(Mat_n (R))$ over a Ring $R$
Definition - Factor Ring(Quotient Ring) of a Ring $R$ over its Ideal $I$ and its Operations

<3장 9절 '아이디얼과 잉여환' 요약 정리 - 5 / 연습문제 1>
Summary of Stage 3 - Chapter 9 'Ideals and Factor Rings' - E / Exercise 1

포함된 내용들 :
참고 - 잉여환의 영원과 덧셈에 대한 역원 / 자명한 동형 관계
정리 - 상환의 가환성 보존 / 상환의 단위원(단위원을 갖는 환의 상환인 경우)

Contents :

Remarks - Zero and Additive Inverse in a Factor Ring / two Trivial Isomorphic Relations
Theorem - Commutative-Preserving property of Factor Rings / Unity of a Factor Ring(If the Ring $R$ has $1_R$)

<3장 9절 '아이디얼과 잉여환' 연습문제 2 ~ 4>
Stage 3 - Chapter 9 'Ideals and Factor Rings' Exercise 2 ~ 4

연습문제 3) 군론에도 비슷한 정리 있음.
연습문제 4) 군론에서는 $H, K \lhd G$이면 $H\cap K = {e} \Longrightarrow \forall h \in H, \forall k \in K, hk=kh$이다.

Exercise 3) There is a similar Theorem in Group Theory.
Exercise 4) In Group Theory, if $H, K \lhd G$, then $H\cap K = {e} \Longrightarrow \forall h \in H, \forall k \in K, hk=kh$.

<3장 9절 '아이디얼과 잉여환' 연습문제 5, 6-(1)>
Stage 3 - Chapter 9 'Ideals and Factor Rings' Exercise 5, 6-A

<3장 9절 '아이디얼과 잉여환' 연습문제 6-(2) ~ 8-(1)>
Stage 3 - Chapter 9 'Ideals and Factor Rings' Exercise 6-B ~ 8-A

연습문제 7) 부울 환의 한 아이디얼 위에서의 상환은 부울 환이다.
연습문제 8) 이 문제만으로 하루하고도 반나절을 끙끙댄 듯. 결국 계수를 이용해 풀어내긴 했다. 맞는지는 사실 확인 안했음 - -

Exercise 7) every Factor Ring of a Boolean Ring over an Ideal is a Boolean Ring.
Exercise 8) I took more than a day with this exercise. Finally I solved with using the Rank of Matrix. I didn't checked the solution.

<3장 9절 '아이디얼과 잉여환' 연습문제 8-(2), 9>
Stage 3 - Chapter 9 'Ideals and Factor Rings' Exercise 8-B, 9

연습문제 9) 행렬환에 대한 예시는 워낙 다양하고 많아서 많이 알아두면 유용할 것이라는 생각만 하고, 실천은 하고 있지 않고 있다. 2x2 행렬에 대해서만도 엄청난 양의 예시가...

Exercise 9) About the Matrix Ring, there are so many, variable examples. I 'only' guessed it will be very helpful if I could know the examples. Just think the examples about 2x2 Matrices...