[170823 현대대수학(환)] 3장 10절 '환의 동형 정리' 요약 정리&연습문제 풀이
[170823 Abstract Algebra(Rings)] Summary and Exercises of Stage 3 - Chapter 10 'Isomorphism Theorem in Ring Theory'
<3장 10절 '환의 동형 정리' 요약 정리 - (1)>
Summary of Stage 3 - Chapter 10 'the Isomorphism Theorems in Ring Theory' - A
포함된 내용들 :
정리 - 환 준동형사상이 주어진 경우 아이디얼의 보존성과 핵에 관한 성질
정리 - 표준 환 준동형사상과 그 핵 / 표준 환 준동형사상 아래서의 부분환/아이디얼 보존성
***제1동형정리와 그 증명
Contents :
Theorem - Properties about Kernel and Ideal-preserving under a Ring Homomorphism
Theorem - Canonical Ring Homomorphism and its Kernel / Subring[Ideal]-Preserving property of the Canonical Ring Homomorphism
***the First Isomorphism Theorem and its Proof
<3장 10절 '환의 동형 정리' 요약 정리 - (2)>
Summary of Stage 3 - Chapter 10 'the Isomorphism Theorems in Ring Theory' - B
포함된 내용들 :
예시 - 행렬 환과 다항식 환에 대한 제1동형정리의 적용
***대응 정리와 그 증명 (1)
Contents :
Exercise - Application of the First Isomorphism Theorem to the Matrix Ring / the Polynomial Ring
***the Correspondence Theorem and its Proof (A)
<3장 10절 '환의 동형 정리' 요약 정리 - (3)>
Summary of Stage 3 - Chapter 10 'the Isomorphism Theorems in Ring Theory' - C
포함된 내용들 :
***대응 정리와 그 증명 (2)
(대응 정리의) 따름정리 - 아이디얼 $I$를 포함하는 환 $R$의 부분환[아이디얼] $S$의 상환 $S/I$는 $R/I$의 부분환[아이디얼]이며, $R/I$의 부분환[아이디얼]은 모두 $S/I$ 꼴이다.
따름정리의 증명은 연습문제에 있으니 참고!
Contents :
***the Correspondence Theorem and its Proof (B)
Corollary( of the Correspondence Theorem) - For a Ring $R$, an Ideal $I$ and a Subring[Ideal] $S$ of $R$, $S/I$ is a Subring[Ideal] of $R/I$. Moreover, every Subring[Ideal] of $R/I$ is $S/I$-form.
Proof of the Corollary will be in Exercise 3.10.
<3장 10절 '환의 동형 정리' 요약 정리 - (4) / 연습문제 1(+), 2>
Summary of Stage 3 - Chapter 10 'the Isomorphism Theorems in Ring Theory' - D / Exercises 1(+), 2
포함된 내용들 :
***제2동형정리, 제3동형정리 (증명은 연습문제에)
연습문제 1) 직관적으로 와닿지 않지만, 엄청나게 요긴할 듯한 느낌이 팍팍 나는 명제이다. 체에서 단위원을 갖는 한 환 위로의 준동형사상이 있기만 하면 그 환이 사실은 체와 같은 구조임을 밝힐 수 있다는 명제로 보았다. 그래서 다시 증명을 보았고, 미흡한 부분을 보충해서 업로드할 필요를 느낌.
연습문제 2) 궁금증 : 같은 원소를 다르게 배치하면 동형이 안 됨?
Contents :
***the Second Isomorphism Theorem and the Third Isomorphism Theorem (Proof will be in Exercise 3.10)
Exercise 1) Although I couldn't agree with my intuition, I guessed it may be very strong proposition. I understood it as 'If we found a Ring Epimorphism from a Field to an Unital Ring, then we can identify the Unital Ring with the Field. So after checking my proof, I give you the supplement.
Exercise 2) Question : If I change arrangement of the Matrix, then is the Quadratic Field not Isomorphic to the Matrix?
<3장 10절 '환의 동형 정리' 연습문제 3 ~ 5>
Stage 3 - Chapter 10 'the Isomorphism Theorems in Ring Theory' Exercises 3 ~ 5
연습문제 3) 궁금증 : 연습문제 2와 같은 궁금증
연습문제 4) 선형대수학의 차원 정리를 생각나게 하는 명제이다. 중요한 정리와 연관되어 있다보니 상당히 중요한 명제라는 느낌.
Exercise 3) Question : Same with the Question in Exercise 2
Exercise 4) It remind me the Dimension Theorem. Thus I felt it is an important proposition.
<3장 10절 '환의 동형 정리' 연습문제 6, 7>
Stage 3 - Chapter 10 'the Isomorphism Theorems in Ring Theory' Exercises 6, 7
연습문제 7) 증명이 좀 ... 더럽다고 생각한다ㅎ 나만 보기 불편한가ㅎ
Exercise 7) I think the proof is not clear heh. Just I confused by it?
<3장 10절 '환의 동형 정리' 연습문제 8>
Stage 3 - Chapter 10 'the Isomorphism Theorems in Ring Theory' Exercise 8
