[170826 현대대수학(환)] 3장 5절 '다항식 환' 요약 정리 & 연습문제 풀이

[170826 Abstract Algebra(Rings)] Summary and Exercises of Stage 3 - Chapter 5 'Polynomial Rings'

학부 때 뭔가 다항식 환 관련해서 엄청 많이 배운 것 같아서 잔뜩 겁먹고 있던 단원이었는데, 직접 공부해보니 이 단원은 그냥 다항식 환이 뭔지 설명하는 '환의 예시 중 하나' 같은 느낌의 단원이었다.
...혼자 낚임

I've been afraid about this chapter because I'm used to remind that there were so many things about the polynomial ring in college course. But it was such a match-pump. This chapter was no longer than 'an example of Rings'.

<3장 5절 '다항식 환' 요약 정리 (1)>
Summary of Stage 3 - Chapter 5 'Polynomial Rings' (A)

포함된 내용들 :
정의 - 환 위의 다항식, 영 다항식과 상수 다항식 / 환 위의 다항식 환
참고 - 환 위의 다항식 환에서의 영원, 덧셈에 대한 역원, 단위원의 존재성

Contents :
Definition - Polynomials over a Ring, Zero and Constant Polynomial / the Polynomial Ring over a Ring
Remark - Zero, Additive Inverse, Unity in the Polynomial Ring $R[x]$ over a Ring $R$

<3장 5절 '다항식 환' 요약 정리 (2)>
Summary of Stage 3 - Chapter 5 'Polynomial Rings' (B)

포함된 내용들 :
예시 - ℤ, ℚ, ℝ, ℂ 위의 다항식 환 / ℤ$_2 [x]$, ℤ$_3 [x]$, ℤ$_6 [x]$에서의 다항식의 계산
정의 - 다항식의 차수와 최고차항의 계수 / 모닉 다항식
참고 - 상수 다항식과 영 다항식의 차수, 특수한 차수의 계산
정리 - 두 다항식의 합과 곱에 대한 차수의 결정 / 정역 위에서의 다항식 환은 정역이다. / 정역 위에서의 다항식 환의 단원군

Contents :
Examples - the Polynomial Rings over ℤ, ℚ, ℝ, ℂ / Calculation of Polynomials in ℤ$_2 [x]$, ℤ$_3 [x]$, ℤ$_6 [x]$
Definition - Leading Coefficient and Degree of a Polynomial / Monic Polynomial
Remark - Degree of Constant Polynomial and Zero Polynomial, Calculation between them
Theorem - Degree of Sum and Product of two Polynomials / $D$:Integral Domain $\Longrightarrow D[x]$:Integral Domain
 / Unit Group of $D[x]$ over an Integral Domain $D$

<3장 5절 '다항식 환' 요약 정리 (3)>
Summary of Stage 3 - Chapter 5 'Polynomial Rings' (C)

포함된 내용들 :
예시 - 자연수 $n$이 소수, 합성수일 때 ℤ$_n$의 구조
*앞의 결과들에 대한 귀납적 확장

Contents :
Example - Structure of ℤ$_n$ when $n$ is Prime / $n$ is Composite
*Inductional Expansion of previous Conclusions

<3장 5절 '다항식 환' 요약 정리 (4)>
Summary of Stage 3 - Chapter 5 'Polynomial Rings' (D)

포함된 내용들 :
***나머지 정리 / 인수 정리
+ 다항식을 다항식으로 나눌 때의 몫과 나머지의 정의

Contents :
***Remainder Theorem / Factor Theorem
+ Definitions of Quotient and Remainder when a Polynomial is divided by a Polynomial.

<3장 5절 '다항식 환' 요약 정리 (5) + 연습문제 3.5>
Summary of Stage 3 - Chapter 5 'Polynomial Rings' (E) + Exercises 3.5

포함된 내용들 :
나머지 정리와 인수 정리의 증명
참고 - 단위원을 갖는 가환환 위에서의 다항식 환에서의 조립제법과 그 예시

연습문제 3.5에서는 딱히 얻을만한 게 없어 보였다.(...)

Contents :
Proof of Remainder Theorem and Factor Theorem
Remark - Synthetic Division on the Polynomial Ring over a Commutative Unital Ring

I guess, Exercises 3.5 has no refresh exercises.