[170826 현대대수학(환)] 3장 6절-(1) '형식적 멱급수환' 요약 정리 & 연습문제 풀이

[170826 Abstract Algebra(Rings)] Summary and Exercises of Stage 3 - Chapter 6-A 'the Ring of Formal Power Series'

앞에서 6절의 뒷부분 '부울 환'에 대한 내용은 이미 했으므로 이 포스팅에서는 6절의 앞부분만을 다룬다. '부울 환'에 대한 자세한 내용은 아래 링크 참조!

I already studied about Chapter 6-B 'Boolean Rings', so I uploaded my study about only the Rings of Formal Power Series in this post. And I added a link in below for students who need the contents.

***2017/07/22 - [학업(Studies)/현대대수학(Abstract Algebra)] - [170722 현대대수학(환)] 6절-(2) '부울 환' 요약 정리 & 연습문제 풀이

<3장 6절-(1) '형식적 멱급수 환' 요약 정리 (1)>
Summary of Stage 3 - Chapter 6-A 'the Ring of Formal Power Series' (A)

포함된 내용들 :
정의 - 환 위에서의 형식적 멱급수와 형식적 멱급수 환
참고 - 환 $R$ 위에서의 형식적 멱급수 환의 영원과 덧셈에 대한 역원, $R$과 $R[x]$와의 관계

Contents :
Definitions - Formal Power Series and the Ring of Formal Power Series over a Ring
Remark - Zero and Additive Inverse of the Ring of Formal Power Series $R[[x]]$ over a Ring $R$, relations between $R$, $R[x]$, $R[[x]]$

<3장 6절-(1) '형식적 멱급수 환' 요약 정리 (2)>
Summary of Stage 3 - Chapter 6-A 'the Ring of Formal Power Series' (B)

포함된 내용들 :
참고 - 형식적 멱급수 환의 보존성 (가환성 / 단위원의 존재성 / 정역 구조)
정리 - 환 위에서의 형식적 멱급수 환의 단원이 되기 위한 필요충분조건
정의 - 환 위에서의 형식적 멱급수 환의 곱셈에 대한 역원

생성함수에 대한 궁금증에서 꼬리를 물고 이쪽으로 넘어온 궁금증이 하나 있었으니...
배경에 대한 자세한 얘기는 밑에서 하기로 하고, 그 궁금증이란 전제조건에 꼭 체라는 조건이 들어있어야 하느냐 하는 것이었다.
그나마 여기서는 약간의 생각할 시간을 거쳐 쉽게 풀렸는데, 조건에 체 $F$ 대신 환 $R$이 들어갔다면 우선 임의의 $A(x)$의 모든 계수가 환 $R$의 단원이 되어야 하는 데서 아웃. 그래서 조건을 나눗셈 환으로 강화하고 증명 과정을 보았더니...이제는 $a_0 b_1 +a_1 b_0 \neq b_0 a_1 +b_1 a_0$가 되어 아쉽다.(나눗셈 환은 가환성이 보장되지 않으므로)
결국, 체가 가장 무난하겠다는 결론에 도달했다.

Contents :
Remark - Preserving properties of the Ring of Formal Power Series (about Commutative Law / Existance of the Unity / Structure of Integral Domain)
Theorem - NS Condition to be an Unit element of the Ring of Formal Power Series over a Ring
Definition - Multiplicative Inverse of the Ring of Formal Power Series over a Ring

I got a subquestion in here. It is derived from the Question) about Generating function.
I'll say the background later. Whatever, the subquestion is 'Why is the condition Field?'.
Fortunately, I broke the question by a little of time to think. For a Ring $R$, since $A(x)$ is arbitrary, all coefficients of $A(x)$ must be units in $R[[x]]$ to make $A(x)$ a unit in $R[[x]]$.
So I added 'Division Ring' condition into $R$. But now I got blocked by $a_0 b_1 +a_1 b_0 \neq b_0 a_1 +a_0 b_1$.
At last I reached the conclusion, 'Field' condition is needed.

<3장 6절-(1) '형식적 멱급수 환' 요약 정리 (3)>
Summary of Stage 3 - Chapter 6-A 'the Ring of Formal Power Series' (C)

포함된 내용들 :
예시 - 형식적 멱급수 환의 곱셈에 대한 역원 계산하기 (체 $F$, 체 ℤ$_2 [x]$ 위에서)
정의 - 환 위의 무한 수열과 무한 수열 환 / 상수 수열과 영 수열

Contents :
Example - Calculation of Multiplicative Inverse of the Ring of Formal Power Series over (i) a Field $F$, (ii) ℤ$_2 [x]$
Definition - Infinite Sequence and the Ring of Infinite Sequences over a Ring / Constant Sequence and Zero Sequence

<3장 6절-(1) '형식적 멱급수 환' 요약 정리 (4) / 연습문제 1, 2>
Summary of Stage 3 - Chapter 6-A 'the Ring of Formal Power Series' (D) / 연습문제 1, 2

포함된 내용들 :
참고 - 무한 수열 환의 보존성 (가환성 / 단위원의 존재성) $\rightarrow$ 정역 구조는 보존하지 않음
정의 - 체 위의 무한 수열의 생성 함수(이는 체 위에서의 형식적 멱급수 환의 원소이다.)

궁금증) 정의(생성함수) : 환 위에서도 생성 함수를 정의할 수 있을텐데 왜 조건을 체로 줬을까?

위의 궁금증 때문에 여러 가지 궁금증이 꼬리를 물었다. 그래서 형식적 멱급수 환과 다항식 환의 정의를 다시 보고 어떻게 곱셈이 잘 정의가 되나 하는 생각도 들고(일반 환은 가환성을 가지지 않으므로) 여러 가지로 머리가 복잡해졌다.
그래서 교수님을 찾아가 본 결과, 다항식 환이나 멱급수 환의 부정원 $x$는 형식적으로 붙이는 거라 교환 법칙에 관한 문제가 아닌 계수끼리 계산하는 것으로 생각한다는 것을 배웠다.
그렇지만 생성함수에 대한 위 궁금증은 내가 직접 푸는 것으로 이야기가 되었다 ㅎ.

Contents :
Remark - Preserving properties of the Ring of Infinite Sequences(about Commutative Law / Existance of the Unity)
Definition - Generating function(in the Ring of Formal Power Series) of an Infinite Sequence over a Field

Question) Definition(Generating function) : Why is the Condition Field?

Because of above Question), I got some additional question mark. To check well-definedness of Multiplication on the Ring of Formal Power Series and Polynomial Ring, I reviewed their definitions. And finally I visit a professor's office.
Now I understood that the indeterminate $x$ is a formal sign. So I have to calculate not $ax^2 \cdot bx^3 = ax^2 bx^3$, but $ax^2 \cdot bx^3 = (ab)x^5$
But about above Question), in conclusion, it must be solved by myself :)