[170903 Abstract Algebra(Rings)] Supplements of Exercises (170912 fixed)
8월 31일(목)에 환론 대학원 수업을 진행했다.
우선은 환론 부분의 연습문제들을 검토하는 시간을 가졌는데, 나를 상당히 곤란하게 만들었던 문제들 위주로 보충할 곳이 몇군데 있었다. 요약 정리 & 연습문제 풀이 포스팅에다가도 바로 수정을 가할 예정이다.
On Thursday(170831), I presented lecture of Ring Theory.
In there, I reviewed the exercises that I solved during summer vacation. After the lecture, I thought my posts about Ring Theory need some supplements.
I'll add the supplements in Summary & Exercises posts soon.
<연습문제 3.3의 4번 문제, 연습문제 3.4의 9번 문제의 보충>
Supplements of Exercise 3.3-4, Exercise 3.4-9
연습문제 3.3-4) 아무래도 경우 따지는 저 상황에 대한 정리가 원래 포스팅에서는 잘 안 되어있었던 것 같아 보충함.
연습문제 3.4-9) 이 문제나 다음의 연습문제 3.4-10이나 기존 포스팅에서는 '환 준동형사상'이 된다는 사실에 대한 체크가 없었기에 보충함.
Exercise 3.3-4) I add this shot because of imperfect conclusion in the old post.
Exercise 3.4-9) This problem and Exercise 3.4-10, I didn't check that $f$ becomes a Ring Homomorphism in the old posts.
<연습문제 3.4의 10번 문제의 보충 (1)>
Supplement of Exercise 3.4-10 (A)
<연습문제 3.4-10의 보충 (2)>
Supplement of Exercise 3.4-10 (B)
그리고 추가로 하나의 내용이 더 있는데, 바로 정칙원의 정의이다. 여기에 바로 써 두겠음.
이 내용은 3.7단원 '행렬 환'의 문제를 풀다가 궁금해진 것을(영원, 단원, 영인자가 환의 모든 원소를 이룰 필요충분조건), 교수님께 여쭤봤더니 돌아온 내용이다.
정의 [$R$ : 환, $a \in R$]
$a$가 $R$의 정칙원이다. $\leftrightarrows$ $ab=0_R$ $\Rightarrow b=0_R$ ( $0_R$ : $R$의 영원 )
(Ver.170912) 그리고 하나 더 꿀팁을 알려주셨다. 가환환은 정수환, 체는 유리수체, 비가환환은 행렬 환을 이용하여 반례를 만들라는 것!
And here is an additional content : Definition - Regular Element of a Ring.
This is a reward for my question mark(about the NS condition to be a Ring with only Zero, Units, Zero-Divisors.) from professor.
Definition [$R$ : a Ring, $a \in R$]
$a$ is called a Regular element in $R$ $\leftrightarrows$ $ab=0_R$ $\Rightarrow b=0_R$, where $0_R$ is the Zero in $R$
(Ver.170912) And I got an additional tip. When I need a counterexample, use ℤ for Commutative Ring, ℚ or ℝ for Field, Matrix for non-commutative Ring!
