[170917 복소함수론] 4장 2절 '코시 정리' 요약 정리

[170917 Complex Analysis] Summary of Stage 4 - Chapter 2 'Cauchy Theorem'

<4장 2절 '코시 정리' 요약 정리 (1)>
Summary of Stage 4 - Chapter 2 'Cauchy Theorem' (A)

포함된 내용들 :

정의 - 폐곡선, 단순 곡선 / 단일 연결 영역

보조정리 - 조르단 곡선 정리

***[170922-수정]  단일 연결 영역의 예에서 3번째 그림이 단일 연결 영역이라고 되어 있는걸 발견. 선을 포함하지 않으므로 애초에 집합 $D$는 연결되어있지 않다. 따라서 수정함.

Contents :

Definition - Closed and Simple Curves / Simply Connected Domain

Lemma - Jordan Curve Theorem

***[170922-Modified] In the 3rd example of Simply Connected Domain, I found that was not a Simply Connected Domain. Since the segment is not contained in $D$, $D$ is not Connected. Now I fixed that.

<4장 2절 '코시 정리' 요약 정리 (2)>
Summary of Stage 4 - Chapter 2 'Cauchy Theorem' (B)

포함된 내용들 :

보조정리 - '단일 연결 영역 $D$에서 정의된 함수 $f$가 미분가능할 때, $D$ 내부의 한 직사각형의 둘레를 따라 진행하는 폐곡선 위의 선적분값은 $0$이다.' + 그 증명

Contents :

Lemma - For $D$:Simply Connected Domain, $R$:Rectangle in $D$, $\gamma$:$[a,b] \longrightarrow D$:a Curve surrounding $R$, $f$:$D\longrightarrow$ℂ:a Complex function, 'If $f$ is differentiable, then $\int _{\gamma}{f(z)dz} = 0$' and its Proof

<4장 2절 '코시 정리' 요약 정리 (3)>
Summary of Stage 4 - Chapter 2 'Cauchy Theorem' (C)

포함된 내용들 :

정리(코시 정리) - '단일 연결 영역 $D$에서 정의된 함수 $f$가 미분가능할 때, $D$ 내부의 임의의 폐곡선 위의 선적분값은 $0$이다.' + 그 증명

*주의 : 선적분을 정의함에 있어 '매끄러운' 곡선의 조건은 필수적인 조건으로, 위의 모든 정리에 사실 이 조건이 모두 포함되어 있어야 함에 유의할 것!

Contents :

Theorem(Cauchy Theorem) - For $D$:Simply Connected Domain, $\gamma$:$[a,b] \longrightarrow D$:a Closed Curve, $f$:$D\longrightarrow$ℂ:a Complex function, 'If $f$ is differentiable, then $\int _{\gamma}{f(z)dz} = 0$' and its Proof

*Caution : 'Smooth' condition of the Curve $\gamma$ is needed for well-defined Line Integral of $f$.