[170927 미분기하학] 2장 5절 '곡률과 열률의 관계' 연습문제 풀이(Ver. 171017)
[170927 Differential Geometry] Stage 2 - Chapter 5 'Relation between Curvature and Torsion' Exercises (Ver. 171017)
<2장 5절 '곡률과 열률의 관계' 간단 요약>
Simple summary of Stage 2 - Chapter 5 'Relation between Curvature and Torsion'
포함된 내용들 :
정의 - 단위 속력 곡선의 구면 상
정리 - 단위 속력 곡선의 단위 접벡터장에 의한 구면 상의 곡률
정리 - 구면 곡선의 곡률과 구의 반지름의 관계
바뀐 책에는 학부 책에서 '구면 곡선'과 구분해놓았던 '구면 상'을 따로 구분하지 않는 것 같았으므로, 학부 책의 표현을 따랐다.
정의에서 수정한 부분은 그와 관련된 부분임.
첫 번째 정리는 구면 상에 관한 것이고, 두 번째 정리는 구면 곡선에 관한 것임에도 주의
Contents :
Definition - Spherical Image of an Unit-speed Curve
Theorem - the Curvature of Spherical Image of an Unit-speed Curve with respect to $T$
Theorem - Relation between the Radius of a Sphere and the Curvature of a Spherical Curve on the Sphere
This book seems to have written with no difference between 'Spherical Image' and 'Spherical Curve', which were differently defined in previous book. So I followed previous book.
The first Theorem is about 'a Spherical Image' of an Unit-speed Curve with respect to $T$, and the second is about a 'Spherical Curve' and the Sphere which contains the Spherical Curve.
<2장 5절 '곡률과 열률의 관계' 연습문제 1, 2>
Stage 2-5 Exercises 1, 2
연습문제 2) 기둥 나선의 축과 경사도는 사실 이전 책에서는 잘 다루지 않았던 부분이다. 가장 대표적인 비평면곡선의 예이기도 하니 주목할 필요가 있을 듯!
다만 개인적으로, 이 문제는 그리 중요하게 생각하지 않고 있다.
Exercise 2) In previous book, I couldn't learn about this content as this detail. So I thought that it is worth to learn because of its representativeness!
But personally, I'm not focus on this Exercise 2.
<2장 5절 '곡률과 열률의 관계' 연습문제 3, 4 (+ 4. (a) 수정본) >
Stage 2-5 Exercises 3, 4 (+ 4. (a) Revisited)
연습문제 3) 양법벡터장 $B$로 구면 상을 구성할 때, 곡률과 열률은 직접 계산으로 충분히 구할만 하구나! 하고 넘어갔다. 외울 필요는 전혀 없는듯
연습문제 4) 축과 경사도를 구성하는 이 문제가 가장 중요하다고 생각했다. (a)에서 맨 첨에는 $T$의 성분을 보고 U를 그냥 $\frac{1}{\sqrt{2}} (1, 0, 1)$로 구성하면 $T$와 내적했을 때 상수가 나오겠네! 하고 쭉 내려가다가, 내적값이 코사인값과 달라서 식겁했다.
나중에도 다시 한 번 볼 필요가 있을만한 문제.
Exercise 3) When make a Spherical Image with Binormal Vector Field $B$, I can calculate the Curvature and Torsion!
It was all of this Exercise 3.
Exercise 4) I thought that this Exercise 4 will be the most important! At first I found that $T\cdot (1, 0, 1) = 1$ so I set U as $\frac{1}{\sqrt{2}} (1, 0, 1)$.( I just focused on $T\cdot$U $=$ (Constant) ) But it caused $T\cdot$U $\neq \cos{\theta}$.
I'll see this Exercise again.
'17.10.17 수정) 연습문제 4.(a)에서 열률이 잘못 계산되어 있던 점을 수정했다.(제보자 : 수교생 님) 피드백 감사합니당!
'17.10.17 Modified) Torsion of Exercise 4.(a) was incorrect. Thank you for the feedback!
