[170928 미분기하학] 3장 1절 '평면 곡선의 대역적 이론' 요약 정리

[170928 Differential Geometry] Stage 3 - Chapter 1 'Global Theory for Plane Curves'

<3장 1절 '평면 곡선의 대역적 이론' 요약 정리 (1)>
Summary of Stage 3 - Chapter 1 'Global Theory for Plane Curves' (A)

포함된 내용들 :

정의 - 평면 곡선의 단위 접벡터장 / 단위 법벡터장 / 평면곡률
참고 - 1. $N$은 $T$를 시계 반대방향으로 90도 회전한 벡터장 / 2. 평면곡률의 직관적 해석
정의 - 닫힌 곡선과 닫힌 곡선의 주기
정리 - 닫힌 곡선의 단위 속력 재매개화와 그 주기에 대해
정의 - 단순 곡선

사실 축 하나 무시하고 $xy$-평면 위에서 생각하면 되는 이야기들인데, 어찌됐건 여기 있는 내용들은 꽤 익혀둘만한 이야기라고 봄

Contents :

Definition - Unit Tangent Vector Field / Unit Normal Vector Field / Plane Curvature of Plane Curve
Remark - 1. $N$ is $\frac{\pi}{2}$-rotated Vector Field of $T$ on the counter-clockwise direction / the Role of the Plane Curvature
Definition - Closed Curve / the Period of a Closed Curve
Theorem - about Unit-speed Reparametrization and its Period of a Closed Curve
Definition - Simple Curve

Although we can study these things on ℝ$^3$ except an Axis. Anyway, Above contents are worth to know I guess.

<3장 1절 '평면 곡선의 대역적 이론' 요약 정리 (2)>
Summary of Stage 3-1 'Global Theory for Plane Curves' (B)

포함된 내용들 :

정의 - 평면 곡선의 회전수
참고 - 회전수와 평면 곡률의 관계
정리 - 닫힌 단순 평면 곡선의 회전수 정리
정의 - 난형선 / 평면 곡선의 꼭짓점(정점)
정리 - 네 개의 정점 정리
정리 - 등주 부등식(등호는 $\alpha$가 원일 때 성립)

여기에 있는 정리들은 주로 증명 없이 상식에 넣어두기만 하는 것으로...만족하기로 했다 ㅎㅎ 등주 부등식도 수학사 때 관련 스토리를 하나 들은 적이 있어서 받아들이기 어렵지는 않을 듯 하고.
회전수의 개념은 특히 곡면의 대역적 이론에서 나오게 될 가우스-보넷 정리로 이어지지 않을까 하는 생각을 하면서 오늘은 여기까지.

Contents :

Definition - Rotation Index of a Plane Curve
Remark - Relation between the Rotation Index and the Plane Curvature of a Plane Curve
Theorem - Rotation Index Theorem for a Closed Simple Plane Curve
Definition - Ovals / Vertices of a Plane Curve
Theorem - 4-Vertex Theorem
Theorem - Isoperimetric Inequality(They're Equal if $\alpha$ is a Circle)

I'll put these theorems in my sight without their proofs. Isoperimetric Inequality is also a well-memorizable with some related story.
Especially Rotation Index, I felt that it will be helpful to understand Gauss-Bonet Theorem in Surface Theory. It's all for today.