[170930 미분기하학] 3장 1절 '평면곡선의 대역적 이론' 중요 연습문제

[170930 Differential Geometry] Stage 3-1 'Global Theory for Plane Curves' Exercises(Core)

지극히 개인적으로 꼽은 3-1단원의 중요한 연습문제들을 살펴보자.
This post contains personally selected important Exercises. Show below :

<3장 1절 '평면곡선의 대역이론' 연습문제 1, 2, 4>
Stage 3-1 'Global Theory for Plane Curves' Exercises 1, 2, 4

연습문제 1) 공간 위에서 바라볼 때와 다르게, 단위 법벡터장이 단위 접벡터장을 반시계방향으로 90도 회전함으로써 결정되므로(공간 위에서 곡선의 단위 법벡터장은 곡선이 휘는 방향을 가지고 결정함) 공간 위에서 바라볼 때와 부호가 다를 수 있다.

연습문제 2) 엄청난 노력을 수반했던 연습문제다.(아래 사진 참조)

문제 접근 :
(1) 맨 처음에 이 놈을 어떻게 파악해야 할지 생각하다가 20분쯤 뒤에야 $t=\theta$처럼 생각하면 되지 않을까! 하고 생각했다.
(2) 그러고도 $\alpha(t)=(x(t),y(t))$가 나오는 데에는 20분쯤 더 걸렸다. 바꿔놓고 나니 뭔가 될 것 같길래 계산을 시작했다.
(3) $r(t)=1-\cos{t}$를 대입하여 계산하는 데 1시간 10분쯤(!) 걸렸다.
(4) 안 되겠다 싶어서 $r(t)$를 가만 놔둔 상태로 계산을 해보았고, 꽤 간단한 식을 얻을 수 있었다. 계산 시간 약 30분(...)
(5) 계산 실수도 없었고 다 좋았는데, $<T'(t),N(t)>=\kappa(t)$로 계산해서 망함. 결과는 맞았지만...
(6) 위의 사진과 같이 $<T'(t),N(t)>=v(t)\kappa(t)$로 놓아야 맞는 것이었다. 이 곡선은 단위 속력 곡선이 아니다(!).

평면 상에서 극좌표를 가진 곡선이 등장했을 때 문제에 어떻게 접근해야 하는지에 대한 아이디어가 필요할 것 같아 연습문제 2는 신경써서 풀어보았다.

1번과 4번은 상식처럼 받아들이고 넘겼다.

Exercise 1) In a plane, Unit Normal Vector Field $N$ is determined by Rotating $T$ with Angle $\frac{\pi}{2}$ on the counter-clockwise direction. It makes difference with when we calculate $N$ of a Regular Curve in ℝ$^3$, so Frame Field $N$ of a Plane Curve is able to have different sign with $N$, which is a Frenet Frame Field.

Exercise 2) It caused terrible amount of effort. If you want track my effort, then show below shot.

Sketch of Solution :
(a) About 20 mins after I saw this problem, I thought that I can synchronize $t=\theta$.
(b) About 20 mins after (a), I constructed $\alpha(t)=(x(t),y(t))$. With this construction, I guess I can solve this problem!(weakly)
(c) With substituting $r(t)=1-\cos{t}$ I calculated that for 1h 10m(!).
(d) It caused such a vertigo. So I retried without substitution. I got a simple(in comparison) conclusion but I used 30mins more.
(e) It was great till this section. But I calculated $<T'(t), N(t)> = \kappa(t)$. Althought I found the correct answer of this problem..
(f) As above shot, correct solution is $<T'(t), N(t)>=v(t)\kappa(t)$. $\alpha$ is not an Unit-speed Curve(!).

I've thought that I need some problems about Frenet Apparatus of a Plane Curve in Polar coordinates. So I solved this Exercise 3.1-2 seriously.

And I passed other exercises in Exercises 3.1 with putting them in my sense.

<연습문제 3.1-2 극좌표로 표현된 곡선의 평면곡률 구하기(정확히는, 정점 구하기)>
Exercise 3.1-2 About the Plane Curvature of a Plane Curve in Polar Coordinates(Finding Vertex)