[171009 현대대수학(환)] 3장 11절 '환과 체의 표수' 요약 정리

[171009 Abstract Algebra(Rings)] Summary of Stage 3-11 'Characteristic of Rings and Fields'

끝낸 지가 1달쯤 된 것 같지만 연습문제를 다 풀지 못해 업로드를 미루고 있던 단원이다. 언제 끝냈는지 기억이 안나서 오늘 날짜로 포스팅함.

Although it's about 1 month ago that I studied this chapter, but I couldn't finish the exercises. So I upload this post today with today's date.

< 3장 11절 '환과 체의 표수' 요약 정리 (1) >
Summary of Stage 3-11 'Characteristic of Rings and Fields' (A)

포함된 내용들 :

정의 - 단위원을 갖는 환의 표수 (+예시)
참고 - 표수에 관한 기본 성질
정리 - 유한환과 그 자연수 표수에 관한 성질 두 가지
***예시 - 주어진 환, 다항식 환, 멱급수 환, 무한수열 환, 전행렬 환의 표수는 모두 같다!
정리 - 정역(+체)의 표수 두 종류
정리 - 두 종류의 환의 표수에 따라 환에 포함되는 덧셈군들
예시 - 표수와 위수가 동일하게 소수 $p$인 환은 ℤ$_p$와 동형이다.

예시 - 연습문제 3.11 5번 참고

개인적으로는 첫 번째 정리와 그 밑의 예시가 중요해 보인다.

Contents :

Definition - Characteristic of an Unital Ring (+Simple Examples)
Remark - Fundamental Properties about Characteristic of an Unital Ring
Theorem - Two Properties about Finite Rings and their Natural Characteristic
***Example - a Ring $R$, $R[x]$, $R[[x]]$, $R^\omega$, $Mat_n(R)$ have $ch(R)$ as their Characteristic.
Theorem - Two kinds of Characteristic of Integral Domains( and Fields)
Theorem - Additive Groups belong to $R$ with considering $ch(R)$
Example - For a Prime number $p$, Rings with $ch(R)=|R|=p$ are Isomorphic to ℤ$_p$.
Example - Go to Exercise 3.11 - 5

I thought the First Theorem and below Example is important.

< 3장 11절 '환과 체의 표수' 요약 정리 (2) >
Summary of Stage 3-11 'Characteristic of Rings and Fields' (B)

포함된 내용들 :

정리 - 두 종류의 체의 표수에 따라 체에 포함되는 소체들
정의 - 표수 $p$(0 또는 소수)를 갖는 체의 소체

예시 - 유한 체 $F$의 표수는 $|F|$의 소인수이다.('유한 체의 위수는 $p^n$꼴이다.'와 함께 볼 것)
정리 - 표수 $p\ge 2$인 가환환의 프로베니우스 자기준동형사상(정역인 경우 동형이다.)
정리 & 정의 - 표수 $p$인 유한체의 프로베니우스 동형사상(증명은 아래에)

Contents :

Theorem - Prime Fields belong to a Field $F$ with considering $ch(F)$
Definition - Prime Field of a Field with $ch(F)=p$($p=0$ or $p$:a Prime number)
Example - For a Finite Field $F$, $ch(F)$ is a Prime Divisor of $|F|$(With 'every Finite Field has $p^n$-form Order')
Theorem - Frobenius Endomorphism $\sigma _p$ of a Commutative Unital Ring $R$ with $ch(R)=p (p\ge 2)$
(If $R$ is Integral Domain, then $\sigma _p$ is Isomorphism)
Theorem & Definition - Frebenius Isomorphism of a Finite Field with its Characteristic $p$(Proof is in below shot)

< 3장 11절 '환과 체의 표수' 요약 정리 (3) >
Summary of Stage 3-11 'Characteristic of Rings and Fields' (C)

포함된 내용들 :

정리 - 표수 $p$인 유한 체 위에서의 다항식에 대한 성질

Contents :

Theorem - Two Properties about Polynomials over a Field $F$ with $ch(F)=p$