[171008 미분기하학] 4장 3절 '곡면의 예' 요약 정리 & 연습문제
[171008 Differential Geometry] Stage 4 - Chapter 3 'Examples of the Surface' Summary & Exercises
4단원 들어와서 제일 힘든 단원이었다.
공간 위에서 주어진 영역이 곡면인지 아닌지 판단하는 간단한 방법이 주어져 곡면을 판정하는 건 어렵진 않았지만, 선직면이나 회전면 등을 다루는 게 그리 쉽지만은 않아 보였다. 실제로 연습문제 2는 감도 못 잡겠고...
그리고 A4지 전체를 한번에 찍기보다는 아무래도 정리에 대한 증명이 많이 포함되어 있지 않으면 반만 찍는걸로 ㅎㅎ
It's the first disaster in Stage 4 for me.
I knew how to know whether given set in ℝ$^3$ becomes a Surface or not, so I felt it is not a problem. But I'm not friendly with Ruled Surface and Surface of Revolution. Actually I have no idea for Exercise 2...
And if the shot contains few proof, then half shot rather than full shot I guess :D
< 4장 3절 '곡면의 예' 요약 정리 (1) >
Stage 4-3 'Examples of the Surface' Summary (A)
포함된 내용들 :
정의 - 몽주(Monge) 조각 사상 (+예시 : 4장 2절 '곡면의 개념'의 ex 4.2.5)를 볼 것)
예시 - 몽주 조각 사상으로써 정의된 $M$이 곡면임을 보이기
정의 - 단순 곡면
참고 - 단순 곡면에는 경계가 없다.
단순 곡면의 정의는 곡선에서의 정의와는 약간 느낌이 다르게 받아들여졌다. 단순 곡선은 실 한 올로 곡선을 표현할 때 꼬여있지 않으면 된다는 느낌이고, 단순 곡면은 여러 개의 헝겊 조각을 덕지덕지 붙이지 않고 비닐 한 겹을 잘 펼쳐서 깔끔하게 만들 수 있다는 느낌?
단순 곡면에 경계가 없다는 것은 일반적으로 고유 조각 사상의 정의역으로 쓰이는 $D$가 ℝ$^2$의 열린 집합이라는 걸 염두에 두면 될 듯.
Contents :
Definition - Monge Patch (+Example : See ex 4.2.5) in Stage 4-2 'Concept of the Surface')
Example - Show that $M$ is a Surface, where $M$ is defined by Monge Patch $X$
Definition - Simple Surface
Remark - Simple Surface has no Boundary
Definition of Simple Surface made me fresh. 'Simple' Surface gives me different feeling with 'Simple' Curve. Well, Simple Curve is 'not twisted' when we embody the Curve with a piece of thread. Simple Surface is 'not tattered', so we can embody the Surface with only one vinyl film.
Simple Surface has no Boundary. It is quite natural with $D=dom(X)$ is Open in ℝ$^2$
< 4장 3절 '곡면의 예' 요약 정리 (2) >
Stage 4-3 'Examples of the Surface' Summary (B)
포함된 내용들 :
정리 - $M \subset$ ℝ$^3$이 곡면일 필요충분조건 (+예시 : ℝ$^3$ 위의 구면)
정의 - 이차 곡면
예시 - ℝ$^3$ 공간 위의 이차 곡면들 : i) 타원면, ii) 일엽쌍곡면, iii) 이엽쌍곡면, iv) 타원포물면, v) 쌍곡포물면, vi) 뿔면
Contents :
Theorem - NS Condition of $M \subset$ℝ$^3$ is a Surface (+Example : Sphere on ℝ$^3$)
Definition - the Quadratic Surface
Example - the kind of Quadratic Surfaces on ℝ$^3$ : i) Ellipsoid, ii) Hyperboloid of one sheet, iii) Hyperboloid of two sheets, iv) Elliptic Paraboloid, v) Hyperbolic Paraboloid, vi) Conical Surface
< 4장 3절 '곡면의 예' 요약 정리 (3) >
Stage 4-3 'Examples of the Surface' Summary (C)
포함된 내용들 :
정의 - 기둥면 / 기둥면의 모선과 도선
예시 - 기둥면이 ℝ$^3$ 위에서의 곡면이 됨을 보이기
하여간 그림 ㅈㄴ 못 그림
Contents :
Definition - Cylinderical Surface / Generatrix(Ruling), Director of Cylinderical Surface
Example - Cylinderical Surface is a Surface in ℝ$^3$
...Well, I wanna be Bob Ross ;(
< 4장 3절 '곡면의 예' 요약 정리 (4) >
Stage 4-3 'Examples of the Surface' Summary (D)
포함된 내용들 :
정의 - 회전면 / 회전면의 회전축과 모선(측면곡선)
예시 - 회전면이 ℝ$^3$ 위에서의 곡면이 됨을 보이기
정의 - 선직면 / 선직면의 밑곡선과 방향곡선 / 이중선직면
... 웰컴 투 더 헬?
(한글로 읽으시는 분들께)이중선직면의 정의 중 distinct 2 Families of Straight Lines라고 적힌 건 책에 '서로 다른 2개의 직선족'이라고 적혀있던 걸 영어로 쓴 것인데, 표현이 적절한지는 잘 모르겠다.
Contents :
Definition - Surface of Revolution / Axis and Generatrix(Profile) of a Surface of Revolution
Example - Surface of Revolution is a Surface in ℝ$^3$
Definition - Ruled Surface / Base Curve, Director of a Ruled Surface / Doubly Ruled Surface
...Welcome to the Hell!
< 4장 3절 '곡면의 예' 연습문제 1 ~ 2 >
Stage 4-3 'Examples of the Surface' Exercises 1 ~ 2
연습문제 1) 쉬웠다.
연습문제 2) 자살 각?
빨리 가우스-보넷 정리까지 가야 할 텐데, 10단원 정도가 남았고, 나는 이 단원을 마스터하고 싶다. 누군가 말씀하셨던가, 예시를 잘 아는 사람이 많이 아는 학생이라고...ㅠㅠ(한 교수님 말씀이고, 나도 어느정도 동감)
Exercise 1) It was easy.
Exercise 2) It was fuck.
I guess I'm busy to Gauss-Bonet Theorem! There are about 10 chapters remained.
But I wanna be a master of Stage 4-3. Somebody said, 'Who know various Examples is the best student'... well.(a Professor said, and I agree with that.)
