[171012 미분기하학] 4장 4절 '좌표조각사상에 대한 계산' 요약 정리 & 연습문제
[171012 Differential Geometry] Stage 4 - Chapter 4 'Calculations on Coordinate Patch' Summary & Exercises
< 4장 4절 '좌표조각사상에 대한 계산' 요약 정리 (1) >
Stage 4-4 'Calculations on Coordinate Patch' Summary (A)
포함된 내용들 :
정의 - 곡면의 $u$-매개변수 곡선, $v$-매개변수 곡선, 편속도벡터
예시 - 좌표 조각 사상으로 밝혀졌던 $X$의 매개변수 곡선들 구해 보기
정의 - 곡면 $M$의 좌표 조각 사상의 상 $X(D)$의 매개변수 표현
예시 - 반지름 $r$인 구면의 매개변수 표현 (+ 정의 : 지리적 조각 사상)
좌표 조각 사상의 정의는 일대일을 포함하고 있는데, 매개변수 표현에서는 일대일을 잘 신경쓰지 않는 것 같았음.
그렇지만 아무래도 일대일인 경우에 뭔가 더 곡면론다운 느낌이 들지 않을까 싶어서(꼴값ㅋ), 필기에서는 대부분의 매개변수 표현이 일대일이 되도록 정의역을 제한해놓았음에 유의하셈
그리고 구면 위에서의 경도, 위도에 대한 이야기도 있었지만 그건 생략했음. 필요한 사람은 찾아보시길 ㅎ
Contents :
Definition - $u$-Parameter Curve, $v$-Parameter Curve, Partial Velocity Vectors of a Surface
Example - Finding the Parameter Curves of a Coordinate Patch $X$(in Stage 4-2)
Definition - Parametric Representation of $X(D)$, where $X$ is a Coordinate Patch of a Surface $M:D\longrightarrow$ℝ$^3$.
Example - Parametric Representation of a Sphere with Radius $r$ (+ Definition : Geographical Patch of a Sphere)
Definition of Coordinate Patch contains injectiveness, but Definition of Parametric Representation doesn't contain.
But for the feeling of 'Surface Theory'(lol), I restricted almost every domains of Parametric Representation in these shot. Give your attention
And I passed meridians, parallels on a sphere. If you need, surf the internet ;)
< 4장 4절 '좌표조각사상에 대한 계산' 요약 정리 (2) >
Stage 4-4 'Calculations on Coordinate Patch' Summary (B)
포함된 내용들 :
예시 - 기둥면의 매개변수 표현 (+ 정의 : 횡단면 곡선)
예시 - 회전면의 매개변수 표현 (+ 정의 : 측면 곡선)
예시 - 윤환면과 매개변수 표현
윤환면은 곡면론에서 나오는 아주 대표적인 곡면 중 하나. 더군다나 회전을 두 번 시킨 회전면에 속하므로 회전에 대한 이해도를 확실히 높여줄 수 있는 좋은 예임.
Contents :
Example - Parametric Representation of a Cylinderical Surface (+ Definition : Cross-sectional Curve of a Cylinderical Surface)
Example - Parametric Representation of a Surface of Revolution (+ Definition : Profile Curve of a Surface of Revolution)
Example - Torus and its Parametric Representation
Torus is one of a representative example in Surface Theory. Moreover, it is generated by 2-times of Rotation, it makes us skillful about the Rotation.
< 4장 4절 '좌표조각사상에 대한 계산' 연습문제 1 ~ 5 >
Stage 4-4 'Calculations on Coordinate Patch' Exercises 1 ~ 5
연습문제 1) 몽주 조각 사상이 아니다보니, 아무래도 저런 좌표 조각은 직관적으로 이해하기 어렵다. ㅠㅠ
연습문제 3) 이렇게 푸는게 맞는건가 긴가민가 했는데, 이렇게 푸는게 맞더라.(다 풀고 풀이 봄 헤헤)
연습문제 4) 토러스의 좌표 표현을 가지고 매개변수 표현을 직접 만들어본 건 처음인데 잘 만들어져서 뿌듯
Exercise 1) Because it is not a Monge Patch, I feel hard to know by intuition.
Exercise 3) I've confused how I solve it, but I won (Thanks for the solution :D)
Exercise 4) First made Parametric Representation of Torus. It refreshed me.
< 4장 4절 '좌표조각사상에 대한 계산' 연습문제 6 >
Stage 4-4 'Calculations on Coordinate Patch' Exercises 6
연습문제 6) 4장 3절에서 일엽쌍곡면과 쌍곡 포물면이 선직면이라는 이야기를 할 때는 정말 멘붕이었는데 매개변수 표현만큼은 내가 자신이 있어서 잘 풀었음. 풀고 나니까 어느 정도 다시 자신감이 회복된 느낌.
그런데 뭐랄까, 아직 선직면은 좀 찝찝한데...(트라우마?)
Exercise 6) In stage 4-3, I've been shocked with the Ruled Surfaces; Hyperboloid of one sheet and Hyperbolic Paraboloid. But I'm confident in Parametric Representation about them. my determination recharged after solving this Exercise 6.
Well... but there are still Ruled Surface...(Trauma?)
