[171012 미분기하학] 4장 5절 '기본 형식' 요약 정리 [1]

[171012 Differential Geometry] Stage 4 - Chapter 5 'Fundamental Forms' Summary [A]

전형적인 '재밌는데 힘든' 단원이었다. 내용이 너무 많아...
그래도 슬슬 본격적인 곡면론에 입성하고 있는 느낌이 든다. 오늘 이거랑 관련해서 개인적인 연습도 한 번 해 볼 예정.
학부 미분기하학2 들을 때 교생실습때문에 제대로 듣진 못했지만 필기 베끼면서 곡면론 짱재밌겠다 싶은 느낌이 들었는데, 지금 다시 그 문 앞에 서 있다. 이 단원을 하면서 그 때 그 느낌을 다시 받을 수 있었음.
마치 지구상의 다양한 물체들을 개미가 되어 이리저리 돌아다녀보는 느낌이랄까..!

어찌됐건, 이 단원은 너무 길어서 1차 기본 형식을 다루는 [1] 포스팅과 2차 기본 형식을 다루는 [2] 포스팅으로 나눠질 예정이다. 연습문제도 꽤 많아서 그건 또 따로 올릴 듯.

This chapter was a type of 'enjoyable but troublesome'. Too many contents in here...
But I feel I'm in the world of Surface Theory. Today I'll do many exercises for this chapter.
I couldn't listen the Differential Geometry 2 course in college because of teaching practice in middle school. I've thought Differential Geometry will be fun with migrating another student's note.
It's feel like... exploring various things in the Earth with being an ant!

Anyway, this chapter has so many contents. I'll divide this chapter into 3 posts, the first is about the First Fundamental Forms, the second is about the Second Fundamental Forms, the last is about the Exercises.

< 4장 5절 '기본 형식' [1] 요약 정리 (1) >
Stage 4-5 'Fundamental Forms' [A] Summary (A)

포함된 내용들 :
정의 - 곡면 위의 한 점에서의 접벡터 / 접평면
참고 - 접평면은 편속도벡터들에 의해서도 결정된다.
예시 - 몽주 조각 사상 $X(u, v)$로 정의된 곡면 위의 점 $(1, 1)$에서 접평면 찾기

이 책에서는 접벡터를 여기서 정의하나...? 하고 자세히 봤더니, 접공간의 원소인 그 접벡터들이 아니라 곡면 위에서만 정의되는 접벡터들을 얘기하는 거였음. 그래서 '접공간' 대신 '접평면'이 생성됨. 구분할 필요가 있어보임.

Contents :

Definition - Tangent Vector / Tangent Plane of a Surface $M$ at a point $p \in M$
Remark - Tangent Plane of a Surface is determined by Partial Velocity Vectors.
Example - Finding Tangent Plane of a Surface defined with a Monge Patch $X(u, v)$ at a point $(1, 1)$

I thought 'Isn't the definition of Tangent Vector so late in this book?' but they are not elements of full Tangent Space $T_p$ℝ$^3$, but only Tangent Vectors on a Surface $M$. So they generates a Tangent 'Plane'. Need attention.

< 4장 5절 '기본 형식' [1] 요약 정리 (2) >
Stage 4-5 'Fundamental Forms' [A] Summary (B)

포함된 내용들 :
정의 - 곡면의 단위 법벡터장  / 곡면 위 한 점에서의 법선
참고 - 부호가 반대인 벡터를 단위 법벡터장으로 택해도 상관 없음.
예시 - 몽주 조각 사상 $X(u, v)$로 정의된 곡면 위의 점 $(1, 1)$에서 접선 찾기
정리 - 방정식 $g(x, y, z)=c$로 정의된 곡면의 기울기 벡터장은 영벡터가 아닌 법벡터장으로서 기능함.

위 정리는 보긴 했지만, 실제로 써먹진 않았던 것 같다. 하고 아래 사진을 보니까 써먹었네.
한 번 써먹고 까먹은 듯. 상식으로 만들어야 할 필요가 있겠는데.

Contents :

Definition - Tangent Vector / Tangent Plane of a Surface $M$ at a point $p \in M$
Remark - Tangent Plane of a Surface is determined by Partial Velocity Vectors.
Example - Finding Tangent Plane of a Surface defined with a Monge Patch $X(u, v)$ at a point $(1, 1)$
Theorem - If the Surface is defined by $g(x, y, z)=c$, then $\triangledown g$ is non-zero Normal Vector Field.

I saw the Theorem, but I guess I didn't use the Theorem in today's study.
and I saw the next shot. There was an example using the Theorem...
I seem forgot the Theorem perfectly. I'll put the Theorem in my sense.

< 4장 5절 '기본 형식' [1] 요약 정리 (3) >
Stage 4-5 'Fundamental Forms' [A] Summary (C)

포함된 내용들 :

예시 - 반지름 $r$인 구면 $S^2(r)$의 법벡터장 찾기
***정의 - 고유 조각 사상 $X$의 제1 기본 형식 $I$  / 제1 기본 계수 $E$, $F$, $G$
참고 - 고유 조각 사상 $X$에 대하여 $dX$가 갖는 의미 / 위 정의에서 제1 기본 계수의 유도 과정
***정리 - 1. 한 고유 조각 사상의 제1 기본 계수는 $0$이상이며 $du=dv=0$일 때만 등호가 성립한다.     2. $EG-F^2 > 0$이다.

이 정리의 증명 과정이 상당히 중요하다고 느꼈다. 1번이야 자명하다 쳐도, 2번의 증명과정은 단순히 $EG-F^2>0$이라는 공식을 계산해냈다기보다는 $EG-F^2$라는 식이 뜻하는 것이 무엇인지에 대한 이야기를 하고 있었다. 바로 $X_u$방향, $X_v$ 방향으로의 증분을 이웃한 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이를 말하는 것이다.(이는 이 포스팅의 마지막 사진에서 곡면 위의 한 영역의 넓이를 계산하는데 쓰인다.)

Contents :

Example - Finding Normal Tangent Vector Field of $S^2(r)$
***Definition - the First Fundamental Form $I$ / the First Fundamental Coefficients $E$, $F$, $G$ of a Proper Patch $X$
Remark - the Meaning of $dX$ for a Proper Patch $X$ / Why $E$, $F$, $G$ are defined like the Definition
***Theorem - 1. $I\ge 0$, $I = 0 \Leftrightarrow du = dv = 0$    2. $EG-F^2>0$

I thought the Proof of the Theorem is quite important. Although 1. is trivial, 2. tells us not only simple calculation $EG-F^2>0$, but also what is the $EG-F^2$ meaning. Let $du=$(Incremental of $X_u$ direction) and $dv=$(Incremental of $X_v$ direction), then $EG-F^2$ means the Area of Parallelogram, which has $du$ and $dv$ as its adjacent two side.(This idea will be used at the last shot in this post to calculate the Area of a Region $R$ on a Surface $M$)

< 4장 5절 '기본 형식' [1] 요약 정리 (4) >
Stage 4-5 'Fundamental Forms' [A] Summary (D)

포함된 내용들 :

예시 - 고유 조각 사상 $X$에 의해 정의된 회전면의 제1 기본 형식 구하기
***정리 - 고유 조각 사상 $X$에 의해 정의된 곡면 위의 정칙 곡선 $\alpha$의 길이

증명의 아이디어 자체는 간단한데... 연쇄 법칙을 한 번에 써서 넘어가려다보니 너무 많이 헷갈림. $X_u$, $X_v$라는 표현도 익숙치 않기도 했고.

Contents :

Example - Finding $I$ of a Surface of Revolution defined with a Proper Patch $X$
***Theorem - the Length of a Regular Curve $\alpha$ on a Surface defined with a Proper Patch $X$

Idea of Proof is quite simple. But... (1) I was not friendly to $X_u$, $X_v$. (2) I tried to calculate the Chain Rule without pen.
By above 2 reasons, I made a lot of mistakes.

< 4장 5절 '기본 형식' [1] 요약 정리 (5) >
Stage 4-5 'Fundamental Forms' [A] Summary (E)

포함된 내용들 :

예시 - 고유 조각 사상 $X$ 위에서 정의된 정칙 곡선의 길이 구하기
정리 - 1. 고유 조각 사상 $X$의 두 법선 벡터가 수직일 필요충분조건
          2. $F$의 기하적 의미; $u$-매개변수 곡선과 $v$-매개변수 곡선이 수직일 필요충분조건
***정리 - 고유 조각 사상 $X$에 의해 정의된 곡면 위의 한 영역 $R$의 넓이
예시 - 고유 조각 사상 $X$에 의해 정의된 원환면의 겉넓이 구하기

으...계산 드러버...에비!

Contents :

Example - Calculating the Length of a Regular Curve on a Proper Patch $X$
Theorem - 1. NS Condition of 'two Normal Vector of a Proper Patch $X$ are Perpendicular'
                 2. Geometric Meaning of $F$; NS Condition of '$X(u,v_0)$ and $X(u_0,v)$ are Perpendicular at $X(u_0,v_0)$
***Theorem - the Area of a Region $R$ on a Surface defined with a Proper Patch $X$
Example - Calculating the Area of a Torus defined with a Proper Patch $X$

What the composite calculation - _-