[171012 미분기하학] 4장 5절 '기본 형식' 요약 정리 [2]
[171012 Differential Geometry] Stage 4 - Chapter 5 'Fundamental Forms' Summary [2]
< 4장 5절 '기본 형식' [2] 요약 정리 (1) >
Stage 4-5 'Fundamental Forms' [B] Summary (a)
포함된 내용들 :
참고 - 곡면론의 대표적인 두 미분 형식; 제1 기본 형식과 제2 기본 형식 / 제2 기본 형식의 정의 아이디어
정의 - 고유 조각 사상 $X$와 $X$의 접벡터장 $U$에 대한 제2 기본 형식 $II$ / 제2 기본 계수 $L$, $M$, $N$
***참고 - 위 정의에서 제2 기본 계수의 유도 과정 / $L$, $M$, $N$과 $II$의 다른 유의미한 표현
예시 - 몽주 조각 사상 $X$을 통해 정의된 곡면의 제2 기본 형식 구하기
정의 - 타원점 / 쌍곡점 / 포물점 / 평탄점 (+그림 : 각 점의 기하학적 의미)
제1 기본 계수들이 한 번 미분해서 계산된 값들이라 국소적인 해석을 담당했다고 한다면 제2 기본 계수들은 두 번 미분해서 계산된 값들이라 아무래도 대역적인 해석에 쓰인다는 느낌이 든다. 느낌일 뿐이지만, 저 네 가지 점의 정의와 그 의미를 볼 때 영 의미 없는 느낌은 아닌 듯?
Contents :
Remark - Differential Forms; the First and the Second Fundamental Forms / Idea for the Second Fundamental Form
Definition - 1. the Second Fundamental Forms with a Proper Patch $X$ and a Tangent Vector Field $U$ of $X$
2. the Second Fundamental Coefficients $L$, $M$, $N$
***Remark - Why $L$, $M$, $N$ are defined like the Definition / Other meaningful Representation of $L$, $M$, $N$, $II$
Example - Calculating the Second Fundamental Form of a Surface defined with a Monge Patch $X$
Definition - Elliptic Point / Hyperbolic Point / Parabolic Point / Planar Point (+Sketch of the Geometric Meaning of Definition)
Since the First Fundamental Coefficients need differentiation only once, they seem well-used to analyze Local properties of a Surface. On the contrary, since the Second Fundamental Coefficients need differentiation twice, they seem well-used to analyze Global properties of a Surface. Although it is just what I guessed, I'm quite in confidence with the Definition of four types of point on a Surface.
< 4장 5절 '기본 형식' [2] 요약 정리 (2) >
Stage 4-5 'Fundamental Forms' [B] Summary (b)
포함된 내용들 :
참고 - 테일러 급수 전개를 이용하는 위 정의의 아이디어 / 위에서 정의한 네 가지 점의 기하학적 의미
예시 - 원환면의 각 점을 네 점 중 하나로 분류하기
예시 - 고유 조각 사상 $X$를 통해 정의된 회전면의 모든 점이 포물점일 필요충분조건 증명하기
Contents :
Remark - Insight of previous Definition with Taylor Series Expansion
Example - Categorizing all points on Torus into 4 type
Example - Proving NS Condition of 'every point on a Surface of Revolution defined with a Proper Patch $X$ is Parabolic points'
