[171020 미분기하학] 4장 6절 '법곡률' + 6장 3절 '측지곡률 + @ 요약 정리 [1]

[171020 Differential Geometry] Summary of Stage 4-6 'Normal Curvature' + Stage 6-3 'Geodesic Curvature' + @ [A]

상당히 오래 걸렸다. 6-3장의 연습문제 5) 때문이기도 했고, 중간에 현대대수학에 대한 질문이 무더기로 들어온 것도 있었다.
근데 오늘 개교기념일이더라. 복소수 강의가 한 주 빠지게 된 거 좀 타격이 큰데...
그런 생각을 하던 차에, 최근 포스팅이 한 주 정도 됐다는 생각이 들어 열심히 미기를 한 후 여기에 접속.
요약 정리 [1]에서는 측지곡률을, [2]에서는 법곡률을 위주로 다룰 예정임.

Too late post. Because of Exercise 5) in Stage 6-3 and some questions(problems) from the students in Abstract Algebra.
Anyway, today is an Anniversary of the University. It is so hurt for me because there was no Complex Analysis lecture.
On the other side, I got a lot of time to study Differential Geometry. So I did it and connected in this TISTORY.
I'll deal with 'Geodesic Curvature' in Summary [1], 'Normal Curvature' in Summary [2].

< '법곡률', '측지곡률'의 정의와 6장 3절 '측지곡률' 요약 정리 (1) >
Definitions of 'Normal Curvature' and 'Geodesic Curvature' / Stage 6-3 'Geodesic Curvature Summary (a)

포함된 내용들 :

정의 - 곡면 M 위의 단위 속력 곡선 $\beta$의 곡률 벡터 / 틀 {$T, V, U$} / 법곡률과 법곡률벡터 / 측지곡률과 측지곡률벡터
정리 - 곡률벡터는 법곡률벡터와 측지곡률벡터의 합이다.
정리 - 측지곡률은 $U \cdot (\beta ' \times \beta '')$으로 계산된다.

정의 부분이 너무 뒤죽박죽이다. 개인적으로 한글 서적들은 편의상 생략하는 부분이 필요 이상으로 많기 때문에 갈피를 잘 잡지 못한 것도 있고,(물론 아닌 것도 있지만.) 무엇보다 '법곡률' 단원에선 법곡률의 정의를 고유 조각 사상과 정칙 곡선을, '측지곡률' 단원에선 측지곡률의 정의를 곡면 M과 단위 속력 곡선을 가지고 해놓고선 법곡률을 정의했던 상황을 가져와 쓴 부분이 마음에 들지 않았다. 한 번에 적으려고 이래저래 짜맞추다보니까 정의 부분이 보기 힘들어짐.

뭐, 급하다보니 두 단원을 뛰어넘어 함께 보려고 했던 이유도 있을 거고, 내가 이해를 잘 못한 건가...싶기도 하고. 사진 하나 올리는데 생각이 많음 ㅠ

*주의 : $\beta$는 $X(t)$의 단위 속력 재매개화임.

Contents :

Definition - Curvature Vector / Frame {$T, V, U$} / Normal Curvature (Vector) / Geodesic Curvature (Vector) of $\beta$
on a Surface M, where $\beta$ is an Unit-speed Curve
Theorem - $\beta '' = \kappa _{n} U + \kappa _{g} V$
Theorem - $\kappa_{g} = U\cdot (\beta '\times \beta '')$

Definition section is a mess. I was confused by excessive skip of the book and such a sense of incongruity between Stage 4-6 and Stage 6-3. In 4-6, the Definition has condition $X$ : Proper Patch of M and $X(t)$ : a Regular Curve on X. But in 6-3, the Definition has condition M : a Surface and $\beta(s)$ : a Unit-speed Curve on M. For one-shot, I patched the Definitions, but it caused a knowledge jam.

Well, There are so many thinking with the first shot.

*Caution : $\beta$ is a Unit-speed Reparametrization of $X(t)$.

< 6장 3절 '측지곡률' 요약 정리 (2) >
Stage 6-3 'Geodesic Curvature' Summary (b)

포함된 내용들 :

정의 - 곡면 M의 측지 곡선
참고 - 1. 측지 곡선은 곡면 M 위의 두 점을 잇는 최단경로이다.     2. 측지 곡선은 상수 속력 곡선이다.
정리 - 곡면 M위의 곡선이 측지선이 될 필요충분조건

Contents :

Definition - Geodesic Curve of a Surface M
Remark - 1. Geodesic Curve is the shortest Path between two points on a Surface M.     2. Geodesic Curve has Constant-speed.
Theorem - NS Condition of a Curve $\beta$ on a Surface M is Geodesic

< 6장 3절 '측지곡률' 요약 정리 (3) >
Stage 6-3 'Geodesic Curvature' Summary (c)

포함된 내용들 :

예시 - 단위구면 위의 대원은 측지선이다.
예시 - 주어진 곡면 위에서 주어진 곡선이 측지선임을 보이기

Contents :

Example - a Great Circle on $S^2$ is Geodesic
Example - Showing that $\alpha$ is Geodesic of a given Proper Patch into a Surface