[171020 미분기하학] 4장 6절 '법곡률' + 6장 3절 '측지곡률 + @ 요약 정리 [2]

[171020 Differential Geometry] Stage 4-6 'Normal Curvature' + Stage 6-3 'Geodesic Curvature' + @ Summary [2]

이번에는 법곡률에 대한 이야기를 할 예정!
측지곡률은 어느 정도 이미지가 떠오르는데 법곡률은 아직까지도 직관적으로 어떻게 생각하면 될지 모르겠다.
예를 조금 더 많이 만나봐야 할 듯?

Today's post is about Normal Curvature.
Although I have some image for Geodesic Curvature, I'm still confused how I understand the Normal Curvature by intuition.
Need more examples...

< 4장 6절 '법곡률' 요약 정리 (1) >
Stage 4-6 'Normal Curvature' Summary (a)

포함된 내용들 :

정리 - 곡선 위의 한 점에서 같은 접선을 가지는 곡선들의 법곡률은 모두 같다.
정리 - 법곡률은 방향 $du:dv$에 대한 기본 형식의 비율 $\frac{II}{I}$로 표현가능하다.

Contents :

Theorem - every Curve passes p with same Tangent Line has same Normal Curvature.
Theorem - $\kappa _{n} = \frac{II}{I}$, where $I$ is the first Fundamental Form, $II$ is the second Fundamental Form

< 4장 6절 '법곡률' 요약 정리 (2) >
Stage 4-6 'Normal Curvature' Summary (b)

포함된 내용들 :

정의 - 곡면 위의 한 점에서의 법단면
정리 - 곡면 위의 한 점에서 법단면의 곡률과 법곡률의 관계 ($\kappa = |\kappa _{n}|$)
예시 - 구면의 법곡률 구하기
예시 - 주어진 쌍곡포물면 $X(u, v) = (u, v, u^2 - v^2)$의 법곡률 구하기
예시 - 주어진 타원포물면 $X(u, v) = (u, v, u^2 + v^2)$의 방향 $u = t^2$, $v = t$에 대한 $t=1$에서의 법곡률과 법곡률벡터 구하기

Contents :

Definition - a Normal Section of a Surface M at a Point $p$
Theorem - If $\kappa$ is the Curvature of Normal Selection of a Surface M, $\kappa = |\kappa _{n}|$
Example - Finding Normal Curvature of $S^2(r)$
Example - Finding Normal Curvature of a Hyperbolic Paraboloid $X(u, v) = (u, v, u^2 - v^2)$
Example - Finding Normal Curvature (Vector) of a Elliptic Paraboloid $X(u, v) = (u, v, u^2 + v^2)$