[171022 미분기하학] 4장 6절 '법곡률' + 6장 3절 '측지곡률' 연습문제

[171022 Differential Geometry] Stage 4-6 'Normal Curvature' + Stage 6-3 'Geodesic Curvature' Exercises

확률론(제일 자신있음), 정수론, 선형대수학, 이산수학 정도는 기출문제만 봐서는 거의 마스터라고 봐도 무방할 정도이고 해석학, 위상수학은 정신승리 중이라 제껴두고...
문제는 진도를 다 못 뺀 복소, 미기, 현대다. 심지어 모의 문제를 받아 보니 정의를 잘 몰라 못 푼 문제가 꽤 있었다. '가우스 곡률'이니 '소 아이디얼'이니 '유수정리'니 하는 생소하면서도 중요하게 다뤄지는 듯한 개념들을 내 지식에 깊게 뿌리내리지 못하면 (아직은 아니지만 ㅋㄷ) 조만간 큰 부담감이 마음 한켠에 자리잡을 듯한 느낌이다.

그런 의미에서.. 다시 필기 작업을 재개해 봄.

Probability Theory, Number Theory, Linear Algebra, Discrete Mathematics - I'm confident with them.
Analysis, Topological Mathematics - Overconfidence is my long friend.
Complex Analysis, Differential Geometry, Abstract Algebra - I think they are the problem. Because I didn't step the finish line, I feel it is early to solve the problems. For example, 'Gaussian Curvature', 'Prime Ideal', 'Residue Theorem' seems so important for my sight, but I have no idea with them. With these walls, I may be undermined (not now :D) someday.

...So, I'll restart uploading my note here.

< 6장 3절 '측지곡률' 연습문제 1 ~ 4 >
Stage 6-3 'Geodesic Curvature' Exercises 1 ~ 4

연습문제 4) 내가 어릴 때부터 어려워했던 것 중 하나는, '경도'와 '위도'를 구분하는 것이었다. 지금은 어느 정도 가능하지만, 이 문제를 접할 때만 해도 경도와 위도를 각각 어떻게 생각해야 할 지 상당히 고민했음. 누군가는 바보 같다 생각할 지도 모름 헿
오랜 생각 끝에, '위도'를 '위' 아래로 움직인 정'도'로 기억하기로 전략을 세웠다. 아름다운 전략이야. 흠흠;

Exercise 4) What I felt hard since my childhood is, choosing 'Meridians' and 'Parallels'. Although I can distinguish them now, when I've seen this Exercise 4, I've been confused with them. Someone will guess he's like a pool lol
With a little time, I set the strategy to remember and distinguish them.(by using Korean words)

< 6장 3절 '측지곡률' 연습문제 5 / 4장 6절 '법곡률' 연습문제 1 ~ 2 >
Stage 6-3 'Geodesic Curvature' Exercise 5 / Stage 4-6 'Normal Curvature' Exercises 1 ~ 2

연습문제 5) 상당히 애먹었다. 이 문제만으로 2일 가까이 붙잡고 있었다. 이 부분 연습문제를 법곡률 요약 정리를 끝내고도 2일이나 뒤에 완성하게 된 주된 이유가 이 놈. 그 과정을 추려보면 이렇다.

1) 구하고자 하는 게 곡선의 모양이므로 구면 $S^2(r)$ 위의 단위속력곡선을 가지고 노는 것으로 가닥을 잡았다. 이건 문제 보자마자(금요일).

2) 결정적으로, 프레네 장치의 양법벡터장 B와 곡면의 단위법벡터 U를 동일한 것으로 착각하여 쳇바퀴를 돌았다. 프레네 장치에 관한 (잘못된) 식을 하나 얻어 미분을 두 번 하긴 했지만 이미 금요일과 토요일 오전은 날아가 있었다.

3) 앞의 2장에서 체험했던 '구면곡선이 만족해야 할 식'을 생각해내어 적용했다. 식 하나만 더 있으면 될 것 같긴 했지만 조건에서 추가적인 식은 찾을 수 없었다. 임용 스터디 이후 여기서 계속 헛돌다 정신을 차리니 토요일이 날아가 있었다. 일단 제쳐두고 다른 과목 문제풀이에 잠깐 집중했다.

4) 요약 정리 할 때 측지곡률의 정의와 예들을 보면서 든 직관 : 측지곡률이 0이 아닌 상수이면, 눈 쌓인 극지에서 지침 없이 걸을때마냥 한 쪽으로 치우친 궤적을 그리며 돌지 않을까? 이런 생각으로 문제를 바라보니 B와 U가 다르다는 사실이 보이기 시작했다. 단순히 겉면을 돌기에 B와 U가 같다고 생각했던 것 자체가 오산이었던 것.

5) 다음은 일사천리일 줄 알았는데 개뿔. 마지막에서 $c$를 '임의로' 택했다는 점을 놓쳐서 또 어느 정도 시간을 날려먹었다.

6) 5)의 문제를 발견하고, $\tau = 0$을 얻었다. 이미 내 이틀은 날아가 있었다. 법곡률 파트 문제들이 다 쉬워서 다행이었지.

Exercise 5) I was nearly knock-downed. 2 days for this Exercise 5. It is a main reason of post latency. The followings are my track.

a) Since we want the Shape of a Curve, I set the initial strategy with a Unit-speed Curve on $S^2 (r)$.(20th Oct. Friday)

b) Critically, I misunderstood that the Binomial Vector Field B of $\beta$ is same with the Normal Vector Field U of $S^2 (r)$ at a point. I differentiated a Formula about the Frenet-Serret Apparatus twice.(But it was wrong Formula.) (Till 11:00 on Saturday)

c) I applied the NS condition to be a Spherical Curve. Now I wanted one more Formula, but it didn't exist. After a study time for the exam, I tried to solve this problem and my Saturday faded off. At this time, I focused on another subject of mathematics.

d) I saw this problem with 'If $\kappa _g$ is non-zero constant, then the Curve will hobble on the Sphere.', which I thought when I study the Definition and Examples of 'Geodesic Curve'. With applying this, U and B became distinct Vector Field. I misunderstood that 'since $\beta$ moves on the Sphere, B will be same with U'.

e) I threw a piece of my time away with 'arbitrary $c$'. I dropped 'arbitrary' out and devided 2 cases; $\tau = 0$, $c = 0$.

f) Finally I found the problem in e). Exercise 5) is solved with the conclusion : $\tau = 0$. Fortunately, Exercises in 'Normal Curvature' part were not so hard.