[171102 Abstract Algebra(Rings)] Stage 3 - Chapter 12 'Direct Sum of Rings' Summary & Examples
오랜만의 현대대수학!
이전에 소 아이디얼에 대한 문제를 봤는데, 자연스럽다 생각했던 소 아이디얼의 정의를 구상하기가 힘들어서 식겁한 적이 있다.
그래서 달리는 현대대수학(미분기하학은 덤). 이 기세로 4장까지 끝내버리고 임용고시에 출전해야겠다.
Long time no see Abstract Algebra!
Once I've encountered a problem about Prime Ideal, and I couldn't embody the Definition of Prime Ideal. Because I got shocked about it, I'll burn out with Abstract Algebra (+Differential Geometry). Now Stage 4 is my goal before the exam.
< 3장 12절 '환의 직합' 요약 정리 (1) >
Stage 3-12 'Direct Sum of Rings' Summary (a)
포함된 내용들 :
정의 - 환 $R_1, R_2, \cdots , R_n$의 외적인 집합(외직합)
참고 - 외직합에서의 자명한 성질들
정리 - 가환환들의 외직합은 가환환이다.(명제의 역도 성립한다.)
정리 - 단위원을 갖는 환들의 외직합은 단위원을 갖는 환이고, 외직합의 단원군은 각 환의 단원군들의 외직합과 같다.
예시 3.12.1 - ℤ$_2$$\times$ ℤ$_3$과 그 단원군
(질문!)예시 3.12.2 - ℤ$_p$ $n$개의 외직합과 그 표수
(실험!)정리 - 부분환들의 외직합과 아이디얼들의 외직합, 잉여환들의 외직합
예시 3.12.2를 보고 문득 든 생각으로, 표수가 각각 다른 여러 환의 외직합을 가지고 놀 필요가 있을 것 같다. 그래서 우선 질문으로 등록.
(새삼이지만, Question과 Quest의 철자가 같음을 발견하고 여러 가지 생각이 들었음.)
(실험!)에 관한 내용은 아래 스샷에.
Contents :
Definition - External Direct Sum of Rings $R_1, R_2, \cdots , R_n$
Remark - Trivial properties about External Direct Sum
Theorem - Direct Sum of Commutative Rings is Commutative.(Converse is also true)
Theorem - Direct Sum of Unital Rings has Unity / Unit Group of the Direct Sum is same with Direct Sum of each Unit Group
Example 3.12.1 - ℤ$_2$$\times$ ℤ$_3$ and its Unit Group
(Quest!)Example 3.12.2 - ℤ${_p}^n$ and its Characteristic
(Test!)Theorem - Direct Sum of Subrings / Ideals / Factor Rings
I felt that I need some exercises about Direct Sum of Rings whose Characteristics are distinct. It's my Question.
(I found that Question and Quest has similar Spelling and refreshed.)
(Test!) will be in the next shot.
< 3장 12절 '환의 직합' 요약 정리 (2) >
Stage 3-12 'Direct Sum of Rings' Summary (b)
포함된 내용들 :
실험! - 정규부분군들의 외직적은 외직적의 정규부분군이던가? 그러네.
예시 - ℤ$_2$$\times$ℤ$_4$의 아이디얼 찾기(6개)
**정리 - 환의 두 아이디얼의 교집합이 영원 뿐이면, 두 아이디얼의 임의의 원소의 곱은 영원이다.
정리 - 교집합이 영원인 두 아이디얼의 합이 전체 환을 이루면 두 아이디얼의 직적은 전체 환과 동형이다.
정의 - 환의 아이디얼들의 내적인 직합(내직합) / 환의 직합 인자
Contents :
Test! - External Direct Product of Normal Subgroups becomes a Normal Subgroup of the External Direct Product.
Example - finding all Ideals of ℤ$_2$$\times$ℤ$_4$
**Theorem - For $R$ : a Ring, $I$, $J$ : Ideals of $R$, if $I \cap J={0}$, then $\forall i \in I, \forall j \in J, ij=0$.
Theorem - For $R$ : a Ring, $I$, $J$ : Ideals of $R$, if $I \cap J={0}$ and $I+J = R$, then $I \times J \cong R$.
Definition - Internal Direct Sum of Ideals of a Ring / Direct Summands of a Ring
< 3장 12절 '환의 직합' 요약 정리 (3) >
Stage 3-12 'Direct Sum of Rings' Summary (c)
포함된 내용들 :
**정리 - 환이 내직합으로 표현되기 위한 필요충분조건들
예시 - ℤ$_{12}$는 ℤ$_4$와 ℤ$_3$의 내직합이다.
***정리 - 중국인의 나머지 정리(정수론의 '중국인의 나머지 정리' 확장)
따름정리 - 중국인의 나머지 정리 : 덧셈군에의 적용
정리 - 따름정리의 확장; $n$개의 덧셈군에 대한 중국인의 나머지 정리
Contents :
**Theorem - NS Conditions of Representation of a Ring with Internal Direct Sum of its Ideals
Example - ℤ$_{12}$ can be represented as the Internal Direct Sum of ℤ$_4$ and ℤ$_3$.
***Theorem - Chinese Remainder Theorem(Extension of Chinese Remainder Theorem in Number Theory
Corollary - Application to Additive Group of Chinese Remainder Theorem
Theorem - Extension of Corollary; Chinese Remainder Theorem for $n$($\ge 3$) Additive Groups.
< 3장 12절 '환의 직합' 연습문제 2 ~ 3 >
< Stage 3-12 'Direct Sum of Rings' Exercises 2 ~ 3 >
***연습문제 2) 아이디얼들의 외직합을 다루었던 정리와 콤비로 여겨지는 '정리 같은 느낌의' 연습문제다. 단위원을 가질 때라는 조건이 붙은 게 걸리지만...
***Exercise 2) This seems a Theorem, which is combination with a Theorem dealt with the External Direct Sum of Ideals.
But there is a condition 'Unital'
< 3장 12절 '환의 직합' 연습문제 4 ~ 6 + @ >
< Stage 3-12 'Direct Sum of Rings' Exercises 4 ~ 6 + @ >
연습문제 4) 실수 대행진 1 : $m$ℤ, $n$ℤ를 ℤ$_m$, ℤ$_n$으로 풀었다가 지우개 대량 학살...
연습문제 6) 실수 대행진 2 : 가환환 조건을 못 보고 풀었다가 지우개 초대량학살... 구면 위의 측지선 땜에 다 죽어있던 지우개 교체함 ;
질문) 환 $R$과 $a \in R$에 대해, $Ra$는 $R$이 가환환일 때는 $R$의 아이디얼, 비가환환일 때에는 한쪽 아이디얼만 된다.
Exercise 4) Mistake Carnival 1 : I solved with not $m$ℤ, $n$ℤ but with ℤ$_m$, ℤ$_n$. My eraser's longevity got fucked.
Exercise 6) Mistake Carnival 2 : I solved without 'Commutative' Condition and my eraser's longevity met apocalypse.(It almost died because of an Exercise(Visit Geodesic Curvature in Differential Geometry.) So I changed my eraser ;(
Question) For a Ring $R$ and $a \in R$, $Ra$ is an Ideal of $R$ when $R$ is Commutative, and just a one-sided Ideal when $R$ is not Commutative.
