[171102 미분기하학] 4장 7절 '주곡률과 주방향' 요약 정리 & 연습문제

[171102 Differential Geometry] Stage 4 - Chapter 7 'Principal Curvatures / Directions' Summary & Exercises

< 4장 7절 '주곡률과 주방향' 요약 정리 (1) >
Stage 4-7 'Principal Curvature / Direction' Summary (a)

포함된 내용들 :

참고 - 주곡률의 존재성
정의 - 듀팡의 지시곡선
참고 - 듀팡의 지시곡선에 관한 아이디어와 듀팡의 지시곡선을 이용한 주방향, 주곡률의 결정
예제 4.7.1) 주어진 곡선 $X(u,v) = (u, v, u^2 - 2v^2)$의 $X(0,0)$에서의 듀팡의 지시곡선 구하기

개인적으로, 듀팡의 지시곡선은 뒤에서 지겹도록 다룰 '주곡률과 주방향을 지정해주는 정리들'에 의해 묻힐 것 같다는 느낌이 강하게 듬.
들어본 적이 없는 것 같고, 처음 보는 개념이라 생각함. 곡면론의 전개에는 영향이 컸을 법한 느낌을 받긴 했다.

Contents :

Remark - Existence of Principal Curvature
Definition - Dupin Indicatrix
Remark - Idea about Dupin Indicatrix and Determining Principal Directions and Curvatures with Dupin Indicatrix
Example 4.7.1) Finding Dupin Indicatrix of a given Surface $X(u,v) = (u, v, u^2 - 2v^2)$ at $X(0,0)$

I thought that Dupin Indicatrix will be faded out by some Theorems, which tell us the Principal Curvatures and Directions.
I've never heard anything about this Dupin Indicatrix. Well, is this the first time I saw it? I guess that's right. But I felt that Dupin Indicatrix may have brought enormous impact for progress of the Surface Theory.

< 4장 7절 '주곡률과 주방향' 요약 정리 (2) >
Stage 4-7 'Principal Curvature / Direction' Summary (b)

포함된 내용들 :

정의 - 곡면 위의 한 점에서의 주곡률과 주방향
예제 4.7.2) 주어진 곡면 $X(u, v) = (u, v, u^2 - v^2)$ 위의 점 $X(0, 0)$에서의 주곡률과 주방향 구하기
정의 - 곡면 위의 배꼽점(제점)과 그 분류 : 타원 배꼽점, 평면 배꼽점
예제 4.7.3) 1. 구면 $S^2 (r)$위의 점에서의 주곡률과 주방향 / 2. 평면 위의 점에서의 주곡률과 주방향
예제 4.7.4) $\kappa$에 대한 이차방정식 $(EG-F^2)\kappa ^2 - (EN+GL-2FM)\kappa + (LN-M^2) = 0$의 판별식에 관하여

예제 4.7.4)에서 아주 뜬금없이 저 복잡한 방정식이 나와서 꽤 당황했던 기억이 남. 뒤에 정리에서 다시 다루는 방정식인데, 중요한 역할을 담당하긴 하지만 여기에서 진을 뺄 필요는 없다고 생각해서 어느 정도 시간 투자해보다 과감히 패스했음.

Contents :

Definition - Principal Curvature and Principal Direction of a Surface at a point
Example 4.7.2) Finding Principal Curvatures and Principal Directions of a given Surface $X(u,v) = (u, v, u^2 - v^2)$ at $X(0,0)$
Definition - Umbilical point on a Surface / 2 kinds of Umbilical point : Elliptic Umbilical point, Planar Umbilical point
Example 4.7.3) Principal Curvatures and Principal Directions on 1. $S^2 (r)$, 2. a Plane
Example 4.7.4) about the Determinant of an Equation $(EG-F^2)\kappa ^2 - (EN+GL-2FM)\kappa + (LN-M ^2) = 0$

In Example 4.7.4), I've been quite embarrassed by the terrible Equation. Although it'll be dealt with next Theorems and important, but I passed the solution. Because there is no time to waste for me.

< 4장 7절 '주곡률과 주방향' 요약 정리 (3) >
Stage 4-7 'Principal Curvature / Direction' Summary (c)

포함된 내용들 :

***정리 - $\kappa$가 방향 $du:dv$에 대한 주곡률이 될 필요충분조건
***정리 - $\kappa$가 주곡률이 될 필요충분조건
***정리 - 곡면 위의 점 $p$가 배꼽점이 될 필요충분조건

이 부분은 아직(`17.11.04) 머릿속에서 잘 정리되지 않은 부분이다. 무엇보다, 배꼽점의 직관적인 이해가 덜 되어 있는 상황이다.

Contents :

***Theorem - NS condition for $\kappa$ be a Principal Curvature with respect to a Direction $du:dv$
***Theorem - NS condition for $\kappa$ be a Principal Curvature
***Theorem - NS condition for $p$($\in$ M) be an Umbilical point of M, where M is the given Surface

I didn't understand this part well.(`17.11.04) Most of all, Umbilical points are not friendly for me.(with the intuition)

< 4장 7절 '주곡률과 주방향' 연습문제 1 ~ 2 >
Stage 4-7 'Principal Curvature / Direction' Exercises 1 ~ 2

연습문제 1) 앞의 내용을 안 보고 기억만으로 풀려고 했는데, 맨 처음에는 듀팡의 지시곡선을, 그 다음에는 주곡률이 될 필요충분조건인 방정식을 이용해 풀었다. 한 마디로, 시행착오를 좀 거쳤다. 정리가 편하긴 편한 듯.
연습문제 2) 그냥 뭐랄까...어? 듀팡의 지시곡선을 계속 쓰긴 쓰네? 같은 느낌을 준 연습문제 그 이상도 이하도...

Exercise 1) I didn't go back to the previous page. I used Dupin Indicatrix at first, and NS condition for $\kappa$ be a Principal Curvature.(the Equation) I strongly felt the convenience of Theorem.
Exercise 2) Well... I found that Dupin Indicatrix is still alive! Just that.