[171105 현대대수학(환)] 3장 13절 '소 아이디얼과 극대 아이디얼' 요약 정리

[171105 Abstract Algebra(Rings)] Stage 3 - Chapter 13 'Prime Ideals and Maximal Ideals' Summary

어쩌다보니 체론을 조금 등한시하고 있는 느낌이긴 하지만...음. 괜찮겠지.

Well, I'm not focusing on the Field Theory now. But... It'll be OK?

< 3장 13절 '소 아이디얼과 극대 아이디얼' 요약 정리 (1) >
Stage 3-13 'Prime Ideals and Maximal Ideals' Summary (a)

포함된 내용들 :

정의 - (가환환에서의) 소 아이디얼 / 극대 아이디얼
***정리 - 단위원을 갖는 가환환 $R$의 진아이디얼 $P$가 소 아이디얼이 될 필요충분조건
정리 - 단위원을 갖는 환 $R$과 그 진아이디얼 $M$에 대해 $R/M$이 나눗셈 환이면 $M$은 $R$의 극대 아이디얼이다.
***정리 - 단위원을 갖는 가환환 $R$의 진아이디얼 $M$이 극대 아이디얼이 될 필요충분조건

두 번째 정리는, 이미 알고 있던 첫 번째와 세 번째 정리 때문에 쌍방향인줄로 헷갈렸다.
가환이 아니면 양방향이 아니구나...

Contents :

Definition - Prime Ideal (of a Commutative Ring) / Maximal Ideal
***Theorem - NS Condition for a Proper Ideal $P$ of a Commutative Unital Ring $R$ to be a Prime Ideal of $R$
Theorem - [ $R$ : an Unital Ring, $M$ : a Proper Ideal of $R$ ] $R/M$ is a Division Ring $\Longrightarrow$ $M$ is a Maximal Ideal of $R$
***Theorem - NS Condition for a Proper Ideal $M$ of a Commutative Unital Ring $R$ to be a Maximal Ideal of $R$

I was confused with the second Theorem, because of the first and the third theorems which I already know.
It was not both side without Commutative condition.

< 3장 13절 '소 아이디얼과 극대 아이디얼' 요약 정리 (2) >
Stage 3-13 'Prime Ideals and Maximal Ideals' Summary (b)

포함된 내용들 :

예시 3.13.1) - 두 번째 정리에서 '가환' 조건이 없을 때의 반례 : 체 $F$ 위의 전행렬 환
따름정리 - 단위원을 갖는 가환환 $R$에서 1. 극대 아이디얼은 소 아이디얼     2. $R$이 유한일 때의 성질     3. $R$이 부울 환일 때의 성질
예시 3.13.2) - 정역 ℤ에서의 영아이디얼은 소 아이디얼이지만 극대 아이디얼은 아니다.
예시 - 정역 ℤ의 아이디얼 $(p)$에 대하여 성립하는 동치 조건들

마지막 예시는 기약원을 가지고 일반화할 수 있는 한 정리를 미리 가져온 것으로 보인다. 기약원을 정의하지 않았는데 이 예시가 갑자기 튀어나와서 살짝 놀람.

Contents :

Example 3.13.1) - Counter-example without 'Commutative' condition in the second Theorem : Full Matrix Ring of a Field $F$
Corollary - In a Commutative Unital Ring $R$,     1. Maximal Ideal $\Longrightarrow$ Prime Ideal     2. If $R$ is Finite?     3. If $R$ is Boolean?
Example 3.13.2) - In an Integral Domain ℤ, $(0)$ is not a Maximal Ideal of ℤ but a Prime Ideal of ℤ
Example - NS Conditions for an Ideal $(p)$ of an Integral Domain ℤ

The last example seems to be a preview of a generalized Theorem. It was a surprise for me because there weren't a Definition for Irreducible element of a Ring.

< 3장 13절 '소 아이디얼과 극대 아이디얼' 요약 정리 (3) >
Stage 3-13 'Prime Ideals and Maximal Ideals' Summary (c)

포함된 내용들 :

예시 3.13.3) - ℤ$_n$에서 $n$의 분류에 따른 극대 아이디얼과 소 아이디얼들, 예제 ℤ$_6$
예시 3.13.4) - 체 $F$ 위의 다항식 환의 모닉 일차다항식과 극대 아이디얼 / 정역 $D$ 위의 다항식 환의 모닉 일차다항식과 소 아이디얼
예시 3.13.5) - 연속함수 환 C$[a,b]$ 에서 ℝ로의 환 준동형사상 $\phi _c$($c \in [a,b]$)과 그 상, 핵(유일한 형태의 극대 아이디얼)

Contents :

Example 3.13.3) - Maximal Ideals and Prime Ideals of ℤ$_n$ with respect to category of $n$, Example ℤ$_6$
Example 3.13.4) - a Maximal Ideal of Polynomial Ring over a Field $F$ / a Prime Ideal of Polynomial Ring over an Integral Domain $D$
Example 3.13.5) - a Ring Homomorphism $\phi _c$ from the Ring of Continuous functions C$[a,b]$ to ℝ, and its Image/Kernel
(the Kernel becomes only Maximal Ideal for C$[a,b]$)