[171106 현대대수학(환)] 3장 13절 '소 아이디얼과 극대 아이디얼' 연습문제

[171106 Abstract Algebra(Rings)] Stage 3 - Chapter 13 'Prime Ideals and Maximal Ideals' Exercises

< 3장 13절 '소 아이디얼과 극대 아이디얼' 연습문제 1 ~ 4 >
Stage 3-13 'Prime Ideals and Maximal Ideals 1 ~ 4

**연습문제 3) 유한 영역이면 체가 된다는 Wedderburn의 정리가 있는데, 그 내용을 다시 한 번 일깨워준 고마운 연습문제.
뭐랄까, 상식이 되진 않은 것 같다. 아직까지는.

**Exercise 3) There is Wedderburn's Theorem, which tells 'Every Finite Domain is a Field.' This Exercise 3) reminded me the Theorem. Well, it is not in my sense perfectly.

< 3장 13절 '소 아이디얼과 극대 아이디얼' 연습문제 5 ~ 9 >
Stage 3-13 'Prime Ideals and Maximal Ideals' Exercises 5 ~ 9

***연습문제 5) 3장 8절 '정역의 분수체'에서 잠깐 다뤘던 곱셈집합이 다시 등장. 여기서도 중요한 역할을 담당하는 듯. 정리 같은 연습문제.
(퀘스트!) 연습문제 6) $M$이 ℚ$_p$의 유일한 극대 아이디얼이어서 성립하는 연습문제라 생각했음. 그렇다면 유일한 극대 아이디얼 $M$을 갖는 정역 $R$의 단원군은 항상 $U(R)=R-M$의 형태가 되는가 하는 질문이 생김

***연습문제 9) 단항 아이디얼 정역에서 모든 $(0)$ 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이 된다는 정리 같은 연습문제.

***Exercise 5) Again 'Multiplicative Set'(See Stage 3-8). Seems important in here too. This is an exercise like a Theorem.
(Quest!) Exercise 6) I guessed that since $M$ is the unique Maximal Ideal of ℚ$_p$, this Exercise 6) can be valid. Now I have a quest generalizing the hypothesis.

***Exercise 9) It's an exercise like a Theorem. In a Principal Ideal Domain, every Prime Ideal becomes Maximal Ideal.