[171105 미분기하학] 4장 8절 '가우스 곡률과 평균 곡률' 요약 정리

[171105 Differential Geometry] Stage 4 - Chapter 8 'Gaussian Curvature and Mean Curvature' Summary

드디어 4장의 마무리 단원!

곡면론 들어서 배울 정의는 거진 다 배운 듯하다. 이제 5단원의 특수한 곡선 부분과 6단원의 가우스 보넷 정리만 어떻게 비비면 될 듯?

Now I'm in final chapter in Stage 4!

There are many definitions of Surface Theory in my knowledge :D
Now I have to focus on the special Curves on a Surface / Gauss-Bonet Theorem.

< 4장 8절 '가우스 곡률과 평균 곡률' 요약 정리 (1) >
Stage 4-8 'Gaussian Curvature and Mean Curvature' Summary (a)

포함된 내용들 :

참고 - 평균 곡률과 가우스 곡률의 정의 유도 과정
정의 - 평균 곡률 / 가우스 곡률
참고 - H와 K가 갖는 성질 (+정의 : 평탄 곡면 / 극소 곡면)
정리 - 곡면 M 위의 점 $p$가 타원점 / 쌍곡점 / 포물점 or 평면점이 될 필요충분조건(가우스 곡률 이용)
예시 4.8.1) 구면 $S^2 (r)$, 평면, 윤환면에서의 가우스 곡률과 평균 곡률

정리는 가우스 곡률의 기하학적 의미를 이해하는데 유용하게 작용했다. 타원점, 쌍곡점, 포물점, 평면점 근처에서 곡면의 모양을 이해한 사람이라면 충분히 같이 이해할 수 있을 듯!

Contents :

Remark - derivation of the Definition of Mean Curvature and Gaussian Curvature
Definition - Mean Curvature / Gaussian Curvature
Remark - Property of H and K (+Definition : Flat Surface / Minimal Surface)
Theorem - NS Condition for $p$ on M to be a Elliptic point / Hyperbolic point / Parabolic point or Planar point(by Gaussian Curvature)
Example 4.8.1) Gaussian Curvature and Mean Curvature of Sphere $S^2 (r)$, Plane, Torus

Theorem was helpful to understand the geometric meaning of Gaussian Curvature. If you are well-understood about Elliptic / Hyperbolic / Parabolic / Planar point geometrically, then I believe you can also understand about K.

< 4장 8절 '가우스 곡률과 평균 곡률' 요약 정리 (2) >
Stage 4-8 'Gaussian Curvature and Mean Curvature' Summary (b)

포함된 내용들 :

예시 4.8.2) 나선면 $X(u,v)=(u\cos{v},u\sin{v},bv)$($b\neq 0$)과 안장 곡면 $X(u,v)=(u,v,uv)$의 가우스 곡률과 평균 곡률
**정리 - 곡면 M 위의 모든 점 $p$에서 가우스 곡률 K는 U$_u (p) \times$U$_v (p) =$K$(X_u (p) \times X_v (p))$를 만족한다.
***정리 - 방향 du:dv가 점 $p \in$M에서의 주방향이 될 필요충분조건

**정리는 가우스 곡률의 다른 표현이고, ***정리는 앞 단원에서의 연립방정식 $\begin {cases} (L-\kappa E)du + (M-\kappa F)dv =0 \\ (M-\kappa F)du + (N-\kappa G)dv =0 \end {cases}$에서 이번에는 $\kappa$를 소거한 방정식이다.

Contents :

Example 4.8.2) Gaussian Curvature / Mean Curvature of an Helicoid $X(u,v)=(u\cos{v},u\sin{v},bv)$($b \neq 0$), Saddle Surface $X(u,v)=(u,v,uv)$
Theorem - For Gaussian Curvature K at $p \in$M, U$_u (p) \times$U$_v (p) =$K$(X_u (p) \times X_v (p))$
Theorem - NS Condition for a Direction du:dv to be a Principal Direction at $p \in$M

**Theorem is another Representation of Gaussian Curvature and ***Theorem is an Equation obtained by Cancelling $\kappa$ in the Simultaneous Equations $\begin{cases} (L-\kappa E)du + (M-\kappa F)du =0 \\ (M-\kappa F)du + (N-\kappa G)dv = 0 \end{cases}$ in previous Chapter.

< 4장 8절 '가우스 곡률과 평균 곡률' 요약 정리 (3) >
Stage 4-8 'Gaussian Curvature and Mean Curvature' Summary (c)

포함된 내용들 :

***정리 - 곡면의 각 점에서 서로 직교하는 두 주방향이 존재한다.
**정리(로드리게스 공식) - 고유 조각 사상 $X$ 위의 한 점에서 주곡률 $\kappa$와 주방향 du:dv에 대해 dU$= - \kappa$d$X$가 성립.
예시 4.8.3) 타원면 $X(u,v)=(u,v,u^2 +v^2)$의 $u=1$, $v=1$에서 주방향을 결정하고, 로드리게스의 공식을 적용해 주곡률 구하기

***정리는 상식으로 받아들일 필요가 있는 정리이다.
로드리게스 공식은 많이 쓰이려나? 싶은 생각이 들긴 하는데, 적어도 U가 조금 간단한 경우라면 쓰일 수 있을법 하다고 느꼈다. 그런 케이스를 별로 못 봐서 그렇지...

Contents :

***Theorem - there are 2 Perpendicular Principal Directions at each point on M
**Theorem(Rodrigues Formula) - For $X$ : a Proper Patch and $p \in X$, dU$= - \kappa$d$X$, where $\kappa$ : Principal Curvature at $p$, du:dv : Principal Direction at $p$
Example 4.8.3) Determining Principal Direction of Elliptic Surface $X(u,v)=(u,v,u^2 +v^2)$ at $(u,v)=(1,1)$ and finding Principal Curvatures by applying Rodrigues Formula

***Theorem should be in my sense.
Rodrigues Formula is personally not useful unless U has simple form. But I felt that the case 'U is simple' is quite special.