[171109 현대대수학(환)] 6장 6절 '유클리드 정역' 요약 정리 & 연습문제
[171109 Abstract Algebra(Rings)] Stage 6 - Chapter 6 'Euclidean Domains' Summary & Exercises
예고대로, 6.6단원 '유클리드 정역'부터 들어간다.
아후...한 번 다 써놓고는 임시저장글들 정리하다가 날려먹어서 다시 씀 ㅡ
근데 그것도 오래 걸린 건 아니었는데 3일이나 지났넹 ㄷㄷ
As I said, today's Abstract Algebra is about Euclidean Domains.
Once I deleted this during cleaning the autosaves after finished, so I rewrited this post.
... Although it took no much time, this post became 3 days late;
< 6장 6절 '유클리드 정역' 요약 정리 (1) >
Stage 6-6 'Euclidean Domains' Summary (a)
포함된 내용들 :
정의 - 정역에서의 유클리드 노름 / 유클리드 정역
예시 6.6.1) ~ 예시 6.6.3) - 대표적인 유클리드 정역들의 예시
**정리 - $m = -1, -2, 2, 3$일 때, ℤ$[\sqrt{m}]$은 유클리드 정역이다.
**정리의 ℤ$[\sqrt{m}]$은 우리가 자주 쓰는 정수들의 집합 ℤ와 밀접한 연관을 가지고 있기 때문에 매우 중요한 예시가 될 것이다.
시험에도 등장할 가능성이 꽤 높다고 보는 집합. 하지만 환의 분류를 생각할 때 예시로서 퍼뜩 떠오르지 않는 걸 봐선 아직은 상식으로 받아들여지진 않은 것 같다. 심지어 얘네들은 대수적으로 잘 사용하는 노름도 있다.(정리에서 절댓값 안에 있는 저거)
이차체 ℚ$[\sqrt{m}] =$ℚ$(\sqrt{m})$ 같은 것도 있으니 참고!
Contents :
Definition - Euclidean Norm on an Integral Domain / Euclidean Domain(E.D)
Example 6.6.1) ~ Example 6.6.3) - Three Representative E.D
**Theorem - For $m = -1, -2, 2, 3$, ℤ$[\sqrt{m}]$ is an E.D.
In **Theorem, ℤ$[\sqrt{m}]$ seems important because of its relation with ℤ. It seems to be quite encounterable in the exam.
But I thought that it is not accepted in my sense yet. Even they have their
Remind that there is also Quadratic Fields ℚ$[\sqrt{m}] =$ℚ$(\sqrt{m})$.
< 6장 6절 '유클리드 정역' 요약 정리 (2) >
Stage 6-6 'Euclidean Domains' Summary (b)
포함된 내용들 :
*정리 - 유클리드 정역 D에서 단원에 대한 유클리드 노름의 성질
예시 6.6.4) - 제곱수가 아닌 정수 $m$에 대한 ℤ$[\sqrt{m}]$에서의 노름과 단원군
***정리 - 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이다.
예시 6.6.5) - 유클리드 정역과 주 아이디얼 정역에 관한 예들
*정리(유클리드 알고리즘)
유클리드 알고리즘은 정수론에서 봤던 내용인데, 유클리드 정역 전체에서 성립하는 것을 보고 새삼 현대대수학의 광범위한 힘을 느낌.
이곳의 정리들은 시험을 위해서는 상식처럼 받아들이고 넘어가면 되는 정리들인 듯. 모든 E.D가 P.I.D가 된다는 것은 나에게는 이미 상식처럼 있는 정리다. 증명 방법까지 알면 좋으려나.
Contents :
*Theorem - Properties of Euclidean Norm with Units in D(: E.D)
Example 6.6.4) - Relationship of Units in ℤ$[\sqrt{m}]$ and Norm in ℤ$[\sqrt{m}]$ for an Integer $m$( $\neq 0, 1, 4, 9, 16, \cdots$ ).
***Theorem - Every Euclidean Domain is an Principal Ideal Domain.
Example 6.6.5) - Examples about the relationship between E.D and P.I.D.
*Theorem(Euclidean Algorithm)
I saw the Euclidean Algorithm in Number Theory. But here is not only in ℤ, but also in every E.D. I felt the power of Abstract Algebra with it.
Here are many Theorems, which we should put in our sense. Will be nice if we know the sketch of proof?
< 6장 6절 '유클리드 정역' 연습문제 1 ~ 3 >
Stage 6-6 'Euclidean Domains' Exercises 1 ~ 3
