[171114 미분기하학] 5장 1~3절 조조식 요약 정리

[171114 Differential Geometry] Stage 5 - Chapter 1 ~ 3 Summary for Vjjo

5장 1절 '방향도함수' / 5장 2절 '공변도함수' / 5장 3절 '모양연산자'

모두 학부 때 했던 내용들이고 어느 정도 상식으로 가지고 있는 내용들이라 빠르게 조조식 요약하고 패스함.
물론 연습문제는 풀어보는 중.

Stage 5-1 'Directional Derivatives' / Stage 5-2 'Covariant Derivatives' / Stage 5-3 'Shape Operator'

I have almost all of these in my sense. So I'll pass these parts with Summary 'for Vjjo'.
Of course, I'm solving the exercises.

< 5장 1절 '방향도함수' / 5장 2절 '공변도함수' 조조식 요약 정리 >
Stage 5-1 'Directional Derivatives' / Stage 5-2 'Covariant Derivatives' Summary for Vjjo

공변도함수는 벡터장을 한 벡터의 방향으로 이동하면서 그 변화를 보여주는 도함수이다. 내가 이 내용을 상식적으로 받아들일 수 있게 했던 아래와 같은 식이 있다 :
$v \in T_p ($ℝ$)$, $W = ( w_1 , w_2 , w_3 )$:ℝ$^3$ 위의 벡터장일 때, $$\triangledown _v W = (v[w_1], v[w_2], v[w_3])$$을 만족한다. 물론 $w_1$, $w_2$, $w_3$은 ℝ$^3$위에서 정의된 미분가능한 실함수이다.

Covariant Derivative shows how a Vector Field changes along the Direction of a Vector. There is a Formula which put it in my sense :
For $v \in T_p ($ℝ$)$ and $W = (w_1 , w_2 , w_3 )$:a Vector Field on ℝ$^3$, $$\triangledown _v W = (v[w_1], v[w_2], v[w_3])$$
Of course $w_1$, $w_2$, $w_3$ are Differentiable Real functions on ℝ$^3$.

< 5장 3절 '모양 연산자' 조조식 요약 정리 >
Stage 5-3 'Shape Operator' Summary for Vjjo

내가 여기에서 얻어가야 할 것은 유향 곡면을 정의하는 아이디어인 듯. 3차원 속의 2차원인 곡면의 향을 결정하기 위해, 곡면에 수직인 법벡터장의 방향을 이용하는 것. 직관적으로는 법벡터장이 바깥쪽(또는 위쪽)이라면 정방향, 안쪽(또는 아래쪽)이라면 역방향이 될 것이다. <- 경험에 근거한 지극히 개인적인 생각.

There is an Idea which I have to get in the Definition of Oriented Surface. To determine the Orientation of a Surface in ℝ$^3$, Mathematicians used the Normal Vector Field U, which is not in $T_p($M$)$.
I thought that the Surface will have Positive Orientation when U moves to outside, and will have Negative Orientation when U moves to inside. <- Deduction from my personal experience.