[171115 현대대수학(환)] 6장 7절 '유일 인수분해 정역' 요약 정리(Ver. 171203)

[171115 Abstract Algebra(Rings)] Stage 6 - Chapter 7 'Unique Factorization Domains' Summary (Ver.171203)

유클리드 정역, 주 아이디얼 정역, 유일 인수분해 정역과 관련된 핵심적인 내용이 담겨 있어서 힘든 단원이었다. 시간도 꽤 오래 걸렸지만, 그만큼 내용도 넓으면서 많았음.

Because this chapter was a core for all E.D and P.I.D and U.F.D, so it was hard to summarize this chapter. It took not only long time, but also wide contents.

< 6장 7절 '유일 인수분해 정역' 요약 정리 (1) > - 수정됨(171203)
Stage 6-7 'Unique Factorization Domains' Summary (a) - Modified(171203)

포함된 내용들 :

정의 - 정역의 소원 / 기약원
참고 - 정역에서 기약원[소원]의 동반원은 기약원[소원]이다.
**정리 - 정역에서 소원은 기약원이다.
***정리 - 정역 $D$의 원소 $p$에 대하여 $p$가 소원일 조건, $(p)$가 $D$의 소 아이디얼일 조건, $D/(p)$가 정역일 조건은 동치이다.

Contents :

Definition - Prime / Irreducible element of an Integral Domain
Remark - Associate of an Irreducible[Prime] element in an Integral Domain
**Theorem - In an Integral Domain, every Prime element is Irreducible element.
***Theorem - For an Integral Domain $D$ and $p \in D$, $p$ is Prime $\Longleftrightarrow$ $(p)$ is a Prime Ideal $\Longleftrightarrow$ $D/(p)$ is an Integral Domain.

< 6장 7절 '유일 인수분해 정역' 요약 정리 (2) >
Stage 6-7 'Unique Factorization Domains' Summary (b)

포함된 내용들 :

*정리 - 정역 $D$의 원소 $r$에 대하여,
$r$이 기약원일 조건, $r$의 약수가 단원 또는 $r$의 동반원일 조건, $(r)$을 포함하는 주 아이디얼이 $(r)$ 또는 $D$일 조건은 동치이다.
***정리 - 주 아이디얼 정역 $D$의 원소 $p$에 대하여,
$p$이 기약원일 조건, $(p)$이 극대 아이디얼일 조건, $D/(p)$가 체일 조건,
$p$이 소원일 조건, $(p)$이 소 아이디얼일 조건, $D/(p)$가 정역일 조건은 모두 동치이다.

Contents :

*Theorem - For an Integral Domain $D$ and $r \in D$,
$r$ is Irreducible $\Longleftrightarrow$ $\forall a|r$, $a \in U(D)$ or $a$ is Associate with $r$ $\Longleftrightarrow$ $\forall (a) \supseteq (r), (a) = (r)$ or $(a) = D$
***Theorem - For a Principal Ideal Domain $D$ and $p \in D$,
$p$ is Irreducible $\Longleftrightarrow$ $(p)$ is a Maximal Ideal $\Longleftrightarrow$ $D/(p)$ is a Field
$\Longleftrightarrow$ $p$ is Prime $\Longleftrightarrow$ $(p)$ is a Prime Ideal $\Longleftrightarrow$ $D/(p)$ is an Integral Domain

< 6장 7절 '유일 인수분해 정역' 요약 정리 (3) >
Stage 6-7 'Unique Factorization Domains' Summary (c)

포함된 내용들 :

정의 - 인수분해 정역 / 유일 인수분해 정역
정리 - 한 환의 증가하는 아이디얼 열의 가산 개 합집합은 아이디얼이다.
***정리 - 주 아이디얼 정역은 유일 인수분해 정역이다. (+ 유클리드 정역 $\Longrightarrow$ 주 아이디얼 정역 $\Longrightarrow$ 유일 인수분해 정역 완성!)
*정리 - 유일 인수분해 정역에서 최대공약수와 최소공배수는 유일하게 존재한다.
*정리 - 정역 ℤ$[\sqrt{m}]$의 원소 $\alpha$에 대하여 N$(\alpha)$가 소수이면 $\alpha$는 ℤ$[\sqrt{m}]$의 기약원이다.

Contents :

Definition - Factorization Domain(F.D) / Unique Factorization Domain(U.F.D)
Theorem - Countable Union of a Monotonically Increasing Sequence of Ideals of a Ring is also an Ideal of the Ring.
***Theorem - Every P.I.D is U.F.D (+ E.D $\Longrightarrow$ P.I.D $\Longrightarrow$ U.F.D)
*Theorem - In an U.F.D, each G.C.D, L.C.M of elements are Unique.
*Theorem - For $\alpha \in$ℤ$[\sqrt{m}]$, N$(\alpha)$ is a Prime number $\Longrightarrow$ $\alpha$ is Irreducible in ℤ$[\sqrt{m}]$.

< 6장 7절 '유일 인수분해 정역' 요약 정리 (4) >
Stage 6-7 'Unique Factorization Domains' Summary (d)

포함된 내용들 :

*정리 - $m \in${ $-1$, $-2$ }일 때 $\beta \in$ℤ$[\sqrt{m}] -${ $0$ }에 대하여 잉여환 ℤ$[\sqrt{m}]/(\beta)$는 유한 환이다.
예시 6.7.5) 유일 인수분해 정역인 ℤ$[\sqrt{-1}]$에서 인수분해의 유일성과 잉여환
예시 6.7.6) 유일 인수분해 정역이 아닌 ℤ$[\sqrt{-5}]$에서 21의 서로 다른 두 인수분해
참고 - ℤ$[x]$는 주 아이디얼 정역도 아니고, 따라서 유클리드 정역도 아니다.

Contents :

*Theorem - For $m \in${ $-1$, $-2$ } and $\beta$, ℤ$[\sqrt{m}]/(\beta)$ is a Finite Ring.
Example 6.7.5) Factor Ring and Uniqueness of Factorization in ℤ$[\sqrt{-1}]$
Example 6.7.6) Two distinct Factorization of 21 in ℤ$[\sqrt{-5}]$
Remark - ℤ$[x]$ is not a P.I.D and so not an E.D.

< 6장 7절 '유일 인수분해 정역' 요약 정리 (5) >
Stage 6-7 'Unique Factorization Domains' Summary (e)

포함된 내용들 :

***정리(가우스의 보조정리 1명제) - ℤ위에서 두 원시다항식의 곱은 원시다항식이다.
***정리(가우스의 보조정리 2명제) - $f(x) \in$ℤ$[x]$이 ℚ 위에서 가약이면 ℤ 위에서도 가약이다.
참고 - $f(x)$가 ℚ 위에서 기약인 ℤ 위에서의 원시다항식이면 $f(x)$는 ℤ 위에서 기약이다.
참고 - $f(x)$가 ℤ 위에서 원시다항식이 아니면 ℤ 위에서 기약다항식이 아니다.
예시 - ℤ 위에서의 기약다항식에 관한 두 예시

제일 이해하는 데 시간이 많이 들었던 부분. 오히려 정리보다는 참고들에서 시간을 엄청나게 잡아먹었다. 체감상 앞 내용들을 다 정리한 시간이랑 여기서 끝까지 달린 시간이랑 비슷할 듯?

Contents :

***Theorem(Gauss Lemma - Statement I) - Product of two Primitive Polynomials over ℤ is Primitive over ℤ
***Theorem(Gauss Lemma - Statement II) - If $f(x) (\in$ℤ$[x]) = g(x)h(x)$ over ℚ, then $f(x) = g_1 (x)h_1 (x)$, where $g_1 (x)$, $h_1 (x)$ in ℤ$[x]$
Remark - If $f(x) \in$ℤ$[x]$ is Primitive and Irreducible over ℚ, then $f(x)$ is Irreducible over ℤ.
Remark - If $f(x)$ is not Primitive over ℤ, then $f(x)$ is not Irreducible over ℤ.
Example - Two examples about Irreducible Polynomial over ℤ.

The worst time-killer part. I underwent time slip in Remarks rather than Theorems. I felt that 'all previous summary' and 'all summary after this' took comparable time.

< 6장 7절 '유일 인수분해 정역' 요약 정리 (6) >
Stage 6-7 'Unique Factorization Domains' Summary (f)

포함된 내용들 :

*정리 - ℤ$[x]$는 유일 인수분해 정역이다.
예시 6.7.6) 유일 인수분해 정역 ℤ$[x]$의 다항식의 인수분해와 최대공약수/최소공배수
참고 - 정역 $D$와 그 분수체 $F$에 대해 가우스의 보조정리와 유사한 정리가 성립한다.
***정리 - 유일 인수분해 정역 $D$ 위의 다항식 환 $D[x]$는 유일 인수분해 정역이다.
*따름정리 - 체[유일 인수분해 정역] $F$ 위의 다항식 환 $F[x_1, x_2, \cdots, x_n]$은 유일 인수분해 정역이다.

Contents :

*Theorem - ℤ$[x]$ is an U.F.D.
Example - Factorization and G.C.D / L.C.M of some Polynomials in ℤ$[x]$ : U.F.D
Remark - For an Integral Domain $D$ and its Field of Quotient $F$, similar Theorem with Gauss Lemma can be applied.
***Theorem - For an U.F.D $D$, $D[x]$ is also an U.F.D.
*Corollary - $F[x_1, x_2, \cdots, x_n]$ over a Field[an U.F.D] $F$ is an U.F.D.