[180120 현대대수학] 4장 2절 '체 위의 다항식 환' 요약 정리

[180120 Abstract Algebra] Stage 4-2 'Polynomial Ring over a Field' Summary

< 4장 2절 '체 위의 다항식 환' 요약 정리 (ㄱ) >

Stage 4-2 'Polynomial Ring over a Field' Summary (A)

포함된 내용들 : 

정리 - $F$가 체일 때, $F[x]$는 유클리드 정역이다.
예제 4.2.1, 4.2.2 - 체 ℤ$_5$와 정역 ℤ위에서의 다항식 환의 나눗셈 정리 성립 여부

Contents :

Theorem - if $F$ is a Field, then $F[x]$ is an Euclidean Domain
Examples 4.2.1, 4.2.2 - validity of Division Algorithm in ℤ$_5 [x]$ and ℤ$[x]$

< 4장 2절 '체 위의 다항식 환' 요약 정리 (ㄴ) >

Stage 4-2 'Polynomial Ring over a Field' Summary (B)

중간에 머그컵을 위에 올려놔서 자국이 남음 ㅠㅠ...

포함된 내용들 : 

참고 - $F$가 체일 때 $F[x]$에서 성립하는 기본 성질 및 deg함수에 관한 성질

***정리 - $F$가 체일 때, $F[x]$는 주 아이디얼 정역이다.
참고 - $F$가 체일 때 $F[x]$에서 아이디얼을 생성하는 모닉다항식은 유일하다.
예제 4.2.3 - ℤ위에서의 다항식 환은 주 아이디얼 정역이 아니다.
**정리 - $F$가 체일 때, $F[x]$에서 다항식들의 최대공약수, 최소공배수가 존재하고 각각 다음과 같은 아이디얼을 생성한다. $$(f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)) = ( g(x) )$$ $$(f_1(x) \cap f_2(x) \cap \cdots \cap f_n(x) = ( l(x) )$$

I put a dipped mug on the paper...So there is a crater :(

Contents :

Remark - Fundamental Properties of $F[x]$ and 'deg' function when $F$ is a Field

***Theorem - if $F$ is a Field, then $F[x]$ is a Principal Ideal Domain(PID)
Remark - if $F$ is a Field, then the Monic Polynomial generating an Ideal of $F[x]$ is Unique.
Example 4.2.3 - Polynomial Ring over ℤis not a PID
**Theorem - if $F$ is a Field, there are the Greatest Common Multiple(GCD) and the Least Common Divisor(LCM) and $$(f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)) = ( g(x) )$$ $$(f_1(x) \cap f_2(x) \cap \cdots \cap f_n(x) = ( l(x) )$$

< 4장 2절 '체 위의 다항식 환' 요약 정리 (ㄷ) >

Stage 4-2 'Polynomial Ring over a Field' Summary (C)

포함된 내용들 : 

**(따름)정리 - $F$가 체일 때, 두 다항식의 최대공약수와 최소공배수가 존재하고 두 다항식으로 최대공약수를 생성 가능하다.

참고 - 체 위에서 다항식 환에서의 최대공약수와 최소공배수는 모닉다항식으로, ℤ$[x]$의 경우는 최고차항의 계수를 양수로 생각한다.

정의 - (체 $F$에 대하여 주 아이디얼 정역인 $F[x]$에서) 서로소 / 쌍마다 서로소

**정리 - $F$가 체일 때, 서로소인 두 다항식은 $1_F$를 생성한다.

정리 - $F$가 체일 때, $F[x]$에서 곱셈과 서로소에 관한 성질들

*정리 - $F$가 체일 때, $F[x]$에서 $f(x), g(x), d(x)=gcd{f(x), g(x)}, l(x)=lcm{f(x), g(x)}$의 관계
***정리(유클리드 호제법)

Contents :

**(Corollary)Theorem - if $F$ is a Field, then $\exists d(x)=gcd{f(x), g(x)}, \exists l(x)=lcm{f(x), g(x)}$ and $\exists s(x), t(x) \in F[x]$ such that $d(x)=f(x)s(x)+g(x)t(x)$

Remark - We consider GCD and LCM as Monic Polynomial over a Field. Moreover, we consider GCD and LCM have Positive Leading coefficient over ℤ.

Definition - (for a Field $F$, in $F[x]$ which is a PID) Relatively Prime / Pairwise Relatively Prime Polynomials

**Theorem - If $F$ is a Field, $1_F$ can be generated by two Relatively Prime Polynomials.

Theorem - Properties between Multiplication and Relatively Prime Polynomials in $F[x]$ for a Field $F$

*Theorem - Relation between $f(x), g(x), d(x)=gcd{f(x), g(x)}, l(x)=lcm{f(x), g(x)}$ over a Field $F$
***Theorem(Euclidean Algorithm)

< 4장 2절 '체 위의 다항식 환' 요약 정리 (ㄹ) >

Stage 4-2 'Polynomial Ring over a Field' Summary (D)

포함된 내용들 : 

예제 4.2.4, 4.2.5 - 체 ℚ, ℤ$_2$에서 유클리드 호제법의 적용
정의 - 체 $F$의 확대체
정리 - 체 $F$와 그 확대체 $K$에 대하여, $F[x]$, $K[x]$에서 두 다항식의 최대공약수는 동일하다.

Contents :

Example 4.2.4, 4.2.5 - Application of Euclidean Algorithm in Fields ℚ, ℤ$_2$
Definition - Extension Field of a Field $F$

Theorem - If $F\subset K$:Tower of Fields, then GCD of two Polynomials in $F[x]$, $K[x]$ is same.