중국인의 나머지 정리를 군에 적용한다면??

Chinese Residue Theorem is in Group Theory??

 

네- 반갑습니다! 간만에 수학으로 찾아뵙게 된 조조하사입니다 :D
티스토리는 굴리고 있진 않지만 댓글은 계속해서 살펴보는데, 생각해볼만한 아이디어가 댓글에 달려서 오랜만에 수학을 함 끄적여 보았지요 ㅋㅋ
환론에서 중국인의 나머지 정리를 확장하는 부분이었는데, 군에서도 적용가능할지 묻는 댓글이 있어 테스트해보았습니다. 수학은 엄밀함이 생명이므로, 혼자 끄적거려보고 음음 하기보다는 공개해서 피드백을 받는게 좋을 것 같아 글로 올림.

 

Hey- Long time no see! Vjjo here with some math stuff :D
Though this TISTORY was inactive recently, I'm still checking every reply here. And I get some interesting question from Abstract Algebra, so reminded my knowledges on it!
The reply was about Chinese Residue Theorem for Ring theory. Will it be functional in Group theory?
I checked it as private activity, but as you know, strict process is very important in math. So I'll post the proof here. Every feedback is welcome!

 

< 흥미로운 질문 제보 감사합니다! :D >

Thanks for your interesting question!

 

 

< 증명 과정 1. 명제의 구성은 https://jjo4446.tistory.com/312의 3번째 스샷을 참고함  >
※ (240519) 스샷의 $(G/N_1, G/N2)$ 부분은 $G/N_1 × G/N_2$ 로 고쳐서 봐주시면 감사하겠습니다 (_ _)
※ (240519) Please take a look at this shot, but $G/N_1 × G/N_2$ instead of $(G/N_1, G/N_2)$

Proof scrap 1.  The proposition was derived from 3rd shot in https://jjo4446.tistory.com/312

[171102 현대대수학(환) 3장 12절 '환의 직합' 요약 정리 & 연습문제

쓰는 과정에서 문제를 발견했는데, 여러분도 찾아보시죠 XD

Later I found a problem here, will you find it?

 

 

< 증명 과정 2. 명제 1의 마무리 >

Proof scrap 2. End of proposition 1

 

개인적으로 이 부분이 조금 끼워맞춘 느낌이 없지않아 있었는데, $n_1m_2$가 아니더라도 다양한 다른 원소로 전사 사상이라는걸 보이는게 가능할 것 같아서 계산과정이 이게 맞나 두세번은 확인했던 것 같음. 더불어 과연 이런 증명과정을 가진 명제가 실용성이 있을까에 대한 의문까지 생겼는데, 실용성은 뭐 쓸 데를 잘 찾으면 되는거니까 'v'

I felt this proof is something unclean.. Thought other elements in $G$ can be used instead of $n_1m_2$, so I verified more than twice with my calculation. Even I had a suspicious thought for its practicality, but soon justified. Someone who need this proposition will find its uses :3

 

 

< 증명 과정 3. 명제 2의 마무리 >

Proof scrap 3. End of proposition 2

 

2번째 명제를 쓰다가 뭔가 이상해서 봤더니 무지성으로 순서쌍을 이용해서 곱집합을 표현하고 있었다는걸 깨달음. 그래서 명제의 공역 부분을 약간 수정하고 증명 과정에서도 그걸 반영함 ㅋㅋㅋ아

While I write 2nd proposition, I felt something wrong. So re-checked previous shot, I found $(G/N_1 , G/N_2)$ instead of $G/N_1 \times G/N_2$
So I fixed it in Proof scrap 3!